Определители. 359. Шопенгауэр А. Эристика, или Искусство побеждать в спорах

359. Шопенгауэр А. Эристика, или Искусство побеждать в спорах. - СПб.: 1900.

 

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

 

 

Ростов-на-Дону

Составитель: Л.В. Сахарова

УДК 517

С 221

 

 

Настоящее пособие соответствует программе курса высшей математики технических учебных заведений и содержит краткий конспект лекций по темам «Определители», «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Пределы», «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Функции нескольких переменных», «Кратные и криволинейные интегралы». Используемые символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса высшей математики.

 

 

Определители

1.1. Определители второго порядка.

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел :

Определителем второго порядка называют число, обозначаемое символом

и вычисляемое по правилу:

=

Элементы и лежат на главной диагонали, а элементы и – на побочной диагонали. Следовательно, чтобы вычислить определитель, надо из произведения чисел, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение чисел, стоящих на побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить

Решение.

= 3 2 - 4 = 6 + 20 = 26

 

Пример 2. Решить уравнение = 0

Решение.

= 0 => 1 (x+22) – 3x 4 = 0 => x+22 - 12x = 0 => 22-11x = 0; 11x = 22; x = 2.

Пример 3. Решить неравенство > 5

Решение.

> 5 => (2x – 2) 2 – 7x 1 > 5 => 4x – 4 – 7x > 5 => - 3x – 4 > 5;

3x < - 9; x < - 3

Примеры для самостоятельного решения.

Вычислить определители:

1). ; 2). ; 3).

Решить уравнения.

1) = 0; 2) =0; 3) = 0

Решить неравенства.

1) > 0; 2) < 0; 3) > 10

1.2. Определители третьего порядка.

Пусть задана квадратная таблица из девяти чисел:

Определителем третьего порядка, соответствующим этой таблице, называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по правилу:

= a1b2c3 + a2b3c1+ b1c2a3 – a3b2c1- a2b1c3 – b3c2a1

Пример 1. Вычислить

Решение.

= 1 (- 1) (- 2) + 2 5 6 + 4 (-7) 3 - 3 (-1) 6 - 2 4 (- 2) – 5 (- 7) 1 = 2 + 60 – 84 + 18 + 16 + 35 = 47.

Пример 2. Решить уравнение: = 0

Решение.

= 0 => 1 5 5 + 4 (-1) x + 3 (-1) 2 – 2 5 x - 4 3 5 – (-1) (-1) 1 = 0

25 – 4 x – 6 – 10 x – 60 – 1 = 0 => - 14 x – 42 = 0; 14 x = – 42; x = - 3.

Пример 3. Решить неравенство: < 1

Решение.

< 1 => 3 x (-1) + 1 2 1+ (-2) (-2) (-1) – (-1) x 1 – 1(-2) (-1) – 2(-2) 3 < 1

-3 x + 2 – 4 + x + 12 – 2 < 1; - 2 x + 8 < 1; 2 x > 7; x >

Решить самостоятельно:

Вычислить определители:

1). ; 2). ; 3)

Решить уравнения:

1). = 0; 2). = 0

Решить неравенство:

> 0

1.2. Решение систем трех-линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.

Рассмотрим систему уравнений:

с неизвестными x y z

Введем обозначения:

∆ = ; ∆ x = ; ∆ y = ; ∆ z =

Имеет место теорема:

Если определитель системы ∆ ≠ 0, то система имеет единственное правильное решение, которое может быть получено по формулам Крамера:

x = ; y = ; z =

Пример. Решить систему уравнений:

Решение.

∆ = = 10; ∆ x = = 5; ∆ y = = 20; ∆ z = = 15;

x= = = ; y = = = 2; z = = =

 

Решить системы уравнений:

1). 2). 3).