Прямая на плоскости

Пусть l – производная прямая на плоскости b прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Любой вектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором прямой, а вектор , перпендикулярный к прямой l, называется вектором нормали. Прямая может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, коэффициенты А и В являются координатами вектора нормали.

2) A - уравнение прямой, проходящей через точку с вектором нормали .

3) – уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором .

4) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

5) - уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом k = tg

6) y = kx + b, где k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy

Если заданы две прямые уравнениями

, то угол между этими прямыми находится как угол между их векторами нормалей :

 

 

Условие параллельности двух прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: , то угол y между прямыми находится по формуле:

Tg y =

Условие параллельности двух прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

Задача 1. Найти угловой коэффициент прямой, заданной общим уравнением

Решение.

Выразим из этого уравнения y:

и

Задача 2. Найти точку А пересечения прямых

и

Решение.

Так как искомая точка лежит на каждой из двух прямых, то координаты этой точки удовлетворяют каждому из уравнений. Поэтому координаты точки пересечения прямых находятся из системы уравнений.

Задача 3. Составить уравнение прямой по следующим данным:

1) прямая проходит через точку М (2; - 3) под углом к оси OX

2) прямая проходит через точку М (2; - 3) параллельно прямой

3) прямая проходит через точку М (2; - 3) перпендикулярно прямой

4) прямая проходит через точку М (2; - 3) перпендикулярно вектору

5) прямая проходит через точку М (2; - 3) и через точку X (4; 1)

Решение.

1) Поскольку прямая образует с осью OX угол , то ее угловой коэффициент . Используем формулу (5):

2) Прямая имеет вектор нормали

Поскольку искомая прямая параллельна прямой , то вектор будет вектором нормали и к прямой . Используем формулу (2):

3) Поскольку искомая прямая перпендикулярна к заданной прямой , то вектор будет ей параллелен, т.е. будет для нее направляющим вектором. Используем формулу (3):

4) Вектор , перпендикулярный прямой, будет для нее вектором нормали, поэтому по формуле (2) имеем:

5) Известны две точки, через которые проходит прямая, поэтому используем уравнение (4):

или

Задачи для самостоятельного решения.

1) Какой угловой коэффициент имеет прямая, проходящая через точки А(4; 2) и В(-1; 3)?

2) Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(3; 2) на прямую, проходящую через точки В(5; 3) и С(-2; 1)

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1; -3) и точку пересечения прямых и перпендикулярно прямой