Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

(1)

Поскольку , то (2)

Свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

4) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны:

(3)

Из формул (1) и (2) получаются формулы, наиболее часто используемые при решении задач:

Cos ; (4); (5).

Пусть векторы заданы координатами:

. Тогда

Cos (

=

, если , т.е.

Задача 1. Найти , если А (3; 2; -1), В (-1; 1; 2), С(5; 3; -3).

Решение.

Задача 2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение.

 

 

Требуется найти угол между векторами и .

Cos(

Следовательно ( = arccos .

Задача 3. При каком значении l векторы и взаимно перпендикулярны?

Решение.

Векторы взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

, т.е.

Задача 4. Даны координаты вершин треугольника АВС:

А(-3; 4; 1), В(0; 4; -2), С(1; 2; 2). Найти

Решение.

Обозначим через и найдем координаты этого вектора:

Задачи для самостоятельного решения.

1) Даны векторы и . Найти

2) Даны координаты вершин треугольника АВС: А(2; 2; 4), В(3; 1; 0), С(1; 0; 2). Найти углы треугольника и .

3) Даны последовательные вершины 4-угольника:

А(3; α; -1), В(2; 1; α), С(2α; -3; -1). При каком α его диагонали взаимно перпендикулярны?