Плоскость и прямая в пространстве

Y

X

Z

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, в котором коэффициенты А, В, С являются координатами вектора нормали: .

2) A - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

3) - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: , ,

Угол ß между двумя плоскостями

Находится как угол между их векторами нормалей и

Условие параллельности двух плоскостей:

, (т.е. ║ )

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

, (т.е. , поскольку )

Пример 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку А (3; -1; 2) перпендикулярно вектору (2; -2; 1) имеет вид: , т.е. (уравнение (2)).

Пример 2. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид (уравнение (3)):

, т.е.

Пример3. Угол между плоскостями и найдется по формуле (4):

Прямая в пространстве может быть задана одним из следующих уравнений:

1) - канонические уравнения прямой.

Эта прямая проходит через заданную точку параллельно направляющему вектору .

2) - уравнение прямой в параметрическом виде.

3) - уравнение прямой, прохлдящей через две заданные точки и .

Z

4) - уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.

O

		Y

 

Пусть заданы две прямые:

и

Угол ß между двумя прямыми в пространстве находится как угол между их направляющими векторами и :

(5)

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

(т.е. ║ )

Условие перпендикулярности двух прямых:

(т.е. =0, поскольку )

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Решение.

У заданной прямой направляющий вектор . Поскольку искомая прямая ей параллельна, то вектор можно принять за ее направляющий вектор и тогда (используя уравнение (1)) получаем:

Пример 2. Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение.

Составляем уравнение прямой по формуле (3):

. Получили уравнение прямой в каноническом виде. Чтобы привести его к параметрическому виду, приравниваем его к t:

= t

Пример 3. Записать в каноническом виде уравнение прямой, заданной как пересечение плоскостей:

Решение.

Чтобы записать уравнение прямой в каноническом виде, надо найти направляющий вектор этой прямой и какую-либо точку этой прямой. Найти точку- это значит найти какое-либо решение системы уравнений. Положим z = 0, тогда

, получим точку .

l l

Поскольку направляющий вектор

 

перпендикулярен к векторам нормалей обеих плоскостей, его можно получить как векторное произведение векторов нормалей и .

, т.е.

Уравнение прямой l имеет вид: