Студопедия — Свойства смешанного произведения
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства смешанного произведения






1) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке cомножителей, т.е. .

2) Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей, например

3) Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах:

 

 

Если > 0, то векторы образуют правую тройку, если < 0, то тройка векторов - левая.

Если векторы заданы координатами:

, , , то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

Например, если , , , то

Задача 1. Найти объем пирамиды АВСD, если А (1; 1; -1), В (2; 1; 0),

С (3; 2; -1), D (-1; 2; 1).

Решение.

.

Задача 2. Векторы , , являются ребрами параллелепипеда. Найти длину высоты параллелепипеда, опущенной на грань векторов и .

 

 

Решение.

 

 


h

 

 

. С другой стороны

, следовательно

Задача 3. Даны 3 вектора , ,

Найти значение «, при котором:

1) векторы и компланарны;

2) и образуют левую тройку;

3)

4)

5)

6) Векторы , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 5.

Решение:

Находим смешанное произведение векторов , :

1) Если , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю:

2) Если , образуют левую тройку, то их смешанное произведение отрицательно: , < 0

3)

4)

5)

6) Если тройка векторов левая, то их смешанное произведение отрицательно, а поскольку , то для левой тройки , следовательно в нашей задаче , т.е.

Решить самостоятельно:

1) Даны вершины пирамиды АВСD: А (1; 2; -3), В (2; 2; -2),

С (2; 1; -4), D (-2; -2; -1). Найти а) объем пирамиды, б) длину высоты, опущенной на основание АВС.

2) Даны 3 вектора: , , . Найти значения «m», при которых:

2.1.) векторы , компланарны,

2.2.) , образуют правую тройку,

2.3.)

2.4.)

2.5.)

2.6.) , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 9.







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 789. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия