Свойства смешанного произведения

1) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке cомножителей, т.е. .

2) Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей, например

3) Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах:

 

 

Если > 0, то векторы образуют правую тройку, если < 0, то тройка векторов - левая.

Если векторы заданы координатами:

, , , то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

Например, если , , , то

Задача 1. Найти объем пирамиды АВСD, если А (1; 1; -1), В (2; 1; 0),

С (3; 2; -1), D (-1; 2; 1).

Решение.

.

Задача 2. Векторы , , являются ребрами параллелепипеда. Найти длину высоты параллелепипеда, опущенной на грань векторов и .

 

 

Решение.

 

 

h

 

 

. С другой стороны

, следовательно

Задача 3. Даны 3 вектора , ,

Найти значение «l», при котором:

1) векторы и компланарны;

2) и образуют левую тройку;

3)

4)

5)

6) Векторы , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 5.

Решение:

Находим смешанное произведение векторов , :

1) Если , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю:

2) Если , образуют левую тройку, то их смешанное произведение отрицательно: , < 0

3)

4)

5)

6) Если тройка векторов левая, то их смешанное произведение отрицательно, а поскольку , то для левой тройки , следовательно в нашей задаче , т.е.

Решить самостоятельно:

1) Даны вершины пирамиды АВСD: А (1; 2; -3), В (2; 2; -2),

С (2; 1; -4), D (-2; -2; -1). Найти а) объем пирамиды, б) длину высоты, опущенной на основание АВС.

2) Даны 3 вектора: , , . Найти значения «m», при которых:

2.1.) векторы , компланарны,

2.2.) , образуют правую тройку,

2.3.)

2.4.)

2.5.)

2.6.) , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 9.