Свойства смешанного произведения1) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке cомножителей, т.е. . 2) Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей, например 3) Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны. Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах:
Если > 0, то векторы образуют правую тройку, если < 0, то тройка векторов - левая. Если векторы заданы координатами: , , , то их смешанное произведение вычисляется по формуле: Например, если , , , то Задача 1. Найти объем пирамиды АВСD, если А (1; 1; -1), В (2; 1; 0), С (3; 2; -1), D (-1; 2; 1). Решение.
. Задача 2. Векторы , , являются ребрами параллелепипеда. Найти длину высоты параллелепипеда, опущенной на грань векторов и .
Решение.
. С другой стороны , следовательно
Задача 3. Даны 3 вектора , , Найти значение «l», при котором: 1) векторы и компланарны; 2) и образуют левую тройку; 3) 4) 5) 6) Векторы , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 5. Решение: Находим смешанное произведение векторов , : 1) Если , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю: 2) Если , образуют левую тройку, то их смешанное произведение отрицательно: , < 0 3) 4) 5) 6) Если тройка векторов левая, то их смешанное произведение отрицательно, а поскольку , то для левой тройки , следовательно в нашей задаче , т.е. Решить самостоятельно: 1) Даны вершины пирамиды АВСD: А (1; 2; -3), В (2; 2; -2), С (2; 1; -4), D (-2; -2; -1). Найти а) объем пирамиды, б) длину высоты, опущенной на основание АВС. 2) Даны 3 вектора: , , . Найти значения «m», при которых: 2.1.) векторы , компланарны, 2.2.) , образуют правую тройку, 2.3.) 2.4.) 2.5.) 2.6.) , образуют левую тройку, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен 9.
|