Производные высших порядков. Пусть функция y=f(x) имеет производную y'=f'(x) в каждой точке некоторого промежутка

Пусть функция y=f(x) имеет производную y'=f'(x) в каждой точке некоторого промежутка. Эта производная в общем случае сама является функцией от x и может быть продифференцирована. Производную от производной y'=f'(x) называют производной второго порядка (или второй производной) и обозначают одним из символов:

; ;

Дифференцируя производную второго порядка, получаем производную третьего порядка , затем , и т.д. Производной n-ого порядка функции y=f(x) называется производная от производной -го порядка.

Для ее обозначения, применяют символы:

; ;

Если функция y от x задана параметрически:

То ее производные любых порядков находят последовательно по формулам:

; ; и т.д.

Пример 1. Найти производную 4-го порядка

.

Пример 2. Функция y от x задана параметрически:

Найти производную 3-го порядка

;

=

6.5. Правило Лопиталя.

Правилом Лопиталя называют следующее общее правило для раскрытия неопределенностей вида и

Если функции f(x) и φ (x) удовлетворяют условиям:

1) или

2)В некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , функции f(x) и φ (x) дифференцируемы, причем ;

3)Существует конечный или бесконечный , то

Другие виды неопределенностей (0 с помощью алгебраических преобразований или логарифмирования сводятся к неопределенностям вида и что позволяет затем применить правило Лопиталя.

Пример 1. Найти

Решение.

Пример 1. Найти

Решение.

Решить самостоятельно. Вычислить пределы.

1) ; 2) ; 3)

1) 5) ; 6)

7) ; 8) ; 9)