Возрастание и убывание функции. Экстремум

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в интервале (а, в), если для любых и , принадлежащих интервалу, из неравенства следует неравенство f( ) f( ). f( ) f( ).

Если функция y=f(x) дифференцируема в интервале (а, в) и f'(x) при всех

x €(а, в), то функция y=f(x) возрастает в этом интервале, если же f'(x) для всех x €(а, в), то f(x) в этом интервале убывает.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки , для всякой точки которой выполняется неравенство f( ) f( ) (f( ) f( )). Максимум и минимум функции объединяются общим названием – экстремум функции.

Необходимое условие экстремума. Если – точка экстремума дифференцируемой функции y=f(x), то f'( )

Отсюда следует, что точки, в которых функция имеет экстремум, следует искать среди тех внутренних точек ее области определения, где либо f'( ) , либо f'( ) , либо f'( ) не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку слева направо производная функции y=f(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то является точкой максимума (минимума) функции y=f(x). Если же производная f'( ) знака не меняет, то в точке экстремума нет.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции

f(x) = x + .

Решение.

Область определения функции: , т.е. (- . Находим производную:

f'( )=

Приравниваем ее к нулю и находим критические точки:

при и не существует при , но в точке функция не определена, следовательно экстремума в этой точке быть не может.

+

-

+

x

-2

f(x)

Следовательно, функция возрастает в интервалах и и убывает в интервалах и . В точке возрастание сменяется на убывание, следовательно, это точка максимума и - точка максимума. В точке убывание функции сменяется на возрастание, следовательно это точка минимума и

- точка минимума.