Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а, в), если точки кривой расположены ниже (выше) касательной, проведенной в любой ее точке этого интервала.

Точка, отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой части, называется точкой перегиба.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (а, в) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f" (x) , то кривая y=f(x) в этом интервале выпуклая. Если же во всех точках интервала (а, в) f" (x)> 0, то кривая в этом интервале вогнутая.

Следовательно, точки перегиба функции y=f(x) следует искать среди точек, в которых либо f" (x)=0, либо f" (x)=∞.

Теорема 2. Пусть для функции y=f(x) ее вторая производная f" (x) существует в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой точки . Если при переходе x через точку f" (x) меняет знак на противоположный, то точка является точкой перегиба графика функции y=f(x). Если же f" (x) в окрестности сохраняет знак, то перегиба в точке нет.

Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

Решение.

Область определения функции – вся числовая ось: (-∞; ∞).

Находим производные:

y’=

Решим уравнение: , т.е.

Исследуем знаки :

В интервалах и f" (x)> 0 следовательно в этих интервалах кривая вогнута, в интервале f" (x)< 0=> в этом интервале кривая выпуклая.

Точки и - точки перегиба, их координаты

т.е.

А(-2; -124) и В( - точки перегиба.

Решить самостоятельно. Для данных функций найти

a) интервалы монотонности и экстремумы и

b) интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

6.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса). Эти значения достигаются функцией либо в точках экстремума, находящихся внутри отрезка, либо на его концах.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке надо вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (а, в), значения f (a), f (b) на концах отрезка и взять наибольшее и наименьшее из полученных чисел.

Пример. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение.

. Находим критические точки:

. Точка не принадлежит отрезку . Вычисляем значение функции в критической точке x = -1:

Находим значение функции на концах отрезка:

;

Из трех полученных значений выбираем самое большое и самое меньшее:

Решить самостоятельно. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

1) 2)

3) ; 4)