Понятие определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] Разовьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками a=x₀< x₁< x₂< ….x_n=b

Обозначим Δ x_i = x_i - x_i-1 В каждом из экспериментальных отрезков Δ x_i выберем произвольную точку ξ _i Сумма вида

f(ξ ₁) Δ x₁+f(ξ ₂)Δ x₂ +…+f(ξ _n) Δ x_n =

называются интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Ее величина зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на части и от выбора точек ξ _i.

Будем рассматривать последовательность разбиений такую, что maxΔ x_i (очевидно, что при этом число отрезков ). Для каждого разбиения можно составить интегральную сумму . т.е. последовательность разбиений соответствует последовательность интегральных сумм.

Если при новых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxΔ x_i и при любом выборе точек ξ ₁ сумма . стремиться к одному и тому же пределу то говорят, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], а сам предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначают символом Таким образом,

Число а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом. Отрезок [a, b] называется отрезком интегрирования.

Имеет место следующая теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Если построить график y=f(x), то в случае f (x) 0, интеграл будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью OX.