Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
 Рис 8.1
| которая ограничена кривой y=f(x), прямыми линиями x=a, x=b (a< b) и осью Ox (рис.8.1), то его объем определяется по формуле:
|
Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции
которая ограничена кривой x =φ (y), прямыми линиями y=c, y=d (c< d) и осью Оy (рис 8.2) то его объем определяется по формуле:
| Рис 8.2 
|
Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=4x-x2 и y=0.
| Решение:
 =  =   =
512/12π (ед3)
|
Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями xy=2; y=1; y=3; x=0
| Решение:
x y=2 ⟹ x=2/y – гипербола
 = 4π  = 4π (-1/y)   (ед3)
|
Пример 3 Найти объем тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями y=x2; x+y=2; y=0 (в четверти) 1) вокруг оси Ox 2) вокруг оси Oy
| Решение
Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox найдем как сумму объемов двух тел, одно из которых образовано вращением фигуры y=x2, x=1, y=0, а второе y=2-x, x=1 y=0 (в 1й четверти) 1) вокруг оси Ох 2) вокруг оси Oy
|
+ 
= 
+ π (4x- 
=
= π 
ед3
|
Объем тела, образованного вращением той же фигуры вокруг оси Oy найдем как разность объемов двух тел, из которых большее образовано вращением фигуры x+y=2; x=0, y=0, y=1, а меньшее y=x2, x=0, y=1.
|
- 
= 
=
= π 
ед3
