Свойства определенного интеграла. 1) Если существует то существует причем
1) Если существует
2) 3) 4) Если 5) Если m и M – наименьшее и наибольшее значения f(x) на отрезке [a, b], то M(b-a) 6) Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется такая точка ξ, что 7) Для любой трех чисел a, b, c справедливо равенство:
8.3. Вычисление определенного интеграла:
Имеет место формула Ньютона Лейбница:
1)
2)
3) 8.4. Замена переменной в определенном интеграле:
Пусть дан интеграл Введем новую переменную t по формуле x=y(t) Если 1) y(α) = a; y(β) = b, 2) y(t) = y’(t) – непрерывны на [α, ρ ] 3) f(y(t)) определена и непрерывна на [α, ρ ], то
При вычислении определенного интеграла по этой формуле не надо возвращаться к старой переменной Пример1
Положим: x-1 = t2 х=t2 -1; dx = 2tdt Если x=1, то 1-1 = α 2; Если x=5, то 5-1 = β 2;
Пример 2
= 8.5. Интегрирование по частям:
Пусть U и V- дифференцируемые функции от x. (UV)’ = U’V+UV’откуда следует
Но
Пример 1
Пример 2
|
то существует 
причем
= 
x 
[a, b], то 
| a/b= F(b)-F(a), где F(x) – первообразная от f(x).
= 
= 2(
)=2(2-1)=2
= ½ ln8/5
= 
α =0
= 
= 2 
= 2(
) = 2(t 
- arctg t 
= 2(-0-arctg2+arctg0) = 2(2-arctg2)/
= 
- t 
=
(0-1) = 
;
UV 
Поэтому имеем
= 
откуда следует 
Формула интегрирования по частям
= 
- 
= 
= x sin x 
x sin x 
cos x 
= 
