Вычисление площади плоской фигуры
4) Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t)≥ 0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a, b] оси Ox, выражается формулой:
где
Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2–3x и y=x. Решение
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды x=2(t-sin t), y=2(1-cos t) 0≤ t≤ 2π и осью Ox. Решение
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ρ =α (1+cos y) Решение
|
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y= f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b (рис.1) равна:
на отрезке [a, b], то 
, тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции
Если f2(x) 
f1(x) при x 
[a, b] то площадь фигуры (рис.2), ограниченной кривыми y=f1(x); y=f2(x) и прямыми x=a и x=b находятся по формуле
и 
определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2).
⟹ x(x-4)=0⟹ x1=0; x2=4
Поскольку на [0, 4] y2(x)≥ y1(x) то площадь фигуры найдем по формуле:
= 4 
= 2*16-64/3= 32-64/3 = 32/3 (ед2)
= 
= 4(t-2sin t +1/2t + ¼ sin2t) 
=
=12π (ед2)
= 
= 
= 
(ед2)
