Интегрирование путем замены переменной

(или способом подстановки)

Этот способ заключается во введении новой переменной интегрирована. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется найти . сделаем подстановку x=y(t), где y(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=y’(t)dt и получаем формулу интегрирования подстановкой:

После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной t к переменной x. При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной не в виде x=y(t), а в виде y(x)=t. Рассмотрим примеры:

1) сделаем подстановку 2x+3=t, тогда dt=2dx dx=dt/2 имеем

+C

2) =

3)

 

4)

 

5)

7.3. Интегрирование по частям:

Пусть u и v – две дифференцированные функции от X. Имеет место формула:

При применении метода интегрирования по частям подынтегральное выражение данного интеграла развивают на два множителя u и dv, затем находя du (дифференцируя u) и v (интегрируя dv) и применяют указанную выше формулу, сводя вычисление интеграла к вычислению интеграла . Этот метод целесообразно применять, когда последний интеграл проще исходного.

С помощью интегрирования по частям берутся интегралы следующих типов: , , (в качестве «u» берут многочлен Р_n(x), а остальное принимают за dv), , , (принимают dv= Р_n(x)dx а остальное принимают за u).

Рассмотрим примеры:

 

1) (3x+1) sin 2x - (-

2)

3) +C

4)

7.4. Интегрирование функций,

содержащих в значителе квадратный трехчлен:

Рассмотрим первые два интеграла, чтобы их вычислить квадратный трехчлен, стоящий в значителе, надо дополнить до полного квадрата. В результате исходный интеграл сводится к виду:

или либо а эти интегралы являются табличными. Рассмотрим примеры:

1.

2. =

3.

4

Интегралы вида вычисляются по следующей схеме:

1) Вычислителем дроби вычисляется выражение, являющееся производной квадратного трехчлена, стоящего в значителе;

2) Исходный интеграл развивается на сумму двух интегралов путем деления на данный знаменатель, причем числителем первой дроби является производная квадратного трехчлена, а второй – оставшееся число;

3) Вычисляем два интеграла, которые являются табличными.

 

Рассмотрим примеры:

5) +C

 

6)