Определение и способы задания функции нескольких переменных

 

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины Z, то Z есть функция двух независимых переменных от x и y определенная в области D, символически: Z = f (x, y)

 

Функции двух переменных, как и функции одной переменной, могут быть заданы таблицей, аналитически (формулой) и графиком.

Табличное задание состоит в том, что для некоторого количества пар значений независимых переменных указывается соответствующее им значение функции. Например, можно составить таблицу для площади прямоугольника

S= X Y

Y\X		1, 5		2, 5
		1, 5		2, 5

 

Аналитическое задание функций означает, что дается формула, при помощи которой по данным значениям независимых переменных отыскивается значение функций

Z= 3x²+5y-2; ит.д.

Как и в случае одного независимого переменного, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях x и y.

 

Определение. Совокупность пар (x, y) значений x и y, при которых функция Z =f(x, y) определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

 

Область определения наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y мы будем изображать точкой M(x, y)плоскости Oxy, то область определения функции изобразится в виде совокупности точек на плоскости. В частности, область определения может быть и вся плоскость.

Пример. Найти область определения функции

 

Ограничению (1) соответствует область вне круга с центром в точке (2; 0) и радиусом R=2; ограничению (2) круг с центром в начале координат и радиусом R=4; их пересечение дает область, изображенную на рисунке.

Графическое задание функции двух переменных состоит в задании графика этой функции.

Рассмотрим функцию Z =f(x, y), определенную в области D плоскости Oxyz. В каждой точке (x, y) восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и на нем отложим отрезок, равный Z =f(x, y). Получим в пространстве точку P с координатами x, y, z.

Геометрическое место точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению Z = f (x, y), есть поверхность, которая и является графиком функции двух переменных.

Эта поверхность проектируется на плоскость Oxy в область определения функции.

Примеры. 1. Ax+By+Cz+D=0 – плоскость в частности 2x+3y+z-C=0 плоскость, отсекающая на координатных осях Ox, Oy, Oz отрезки 3, 2, 6

 

Эллипсоид с полуосями a=6; b=3 c=6

 

- cоответственно, эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

 

Определение: Величина U называется функцией переменных величин x, y, z, …t, если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно или несколько определенных значений величины U.

 

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех четырех и более переменных. Функцию трех и более переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно.

Запись F(x, y, z, …t, u)=0 означает в общем виде наличие функциональной связи между величинами x, y, z, …t,