Аннуитет
Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае: С1 = Сз =... = Сп = А. Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены. Формула для расчета текущей стоимости аннуитета имеет вид PVA = A/(1+i)+A/(1+i)2 A/(1+i)3+…+A/(1+i)n. Введем следующие обозначения B=A/(1+i), C=1/(1+i). В результате получим PVA=B*(1+C+C2+C3+… +Cn-1) * Умножая левую и правую части уравнения на величину C PVA*С = B*(C+C2+C3+… +Cn) ** Вычитая уравнение ** из * получим PVA*(1-С) = B*(1-Cn). Или PVA*[1-1/(1+i)] = A/(1+i)*[1-1/(1+i)n)]. Умножение обеих частей уравнения на величину (1+i) дает PVA*i = A*[1-1/(1+i)n)] Или PVA = A*[1/i-1/(i*(1+i)n)]. Аналогичным образом может быть получено выражение для расчета будущей стоимости аннуитета. FVA = A+A*(1+i)2 A*(1+i)3+…+A*(1+i)n-1. Введем обозначения B=A*(1+i)/ и получим FVA = A*(1+B +B2 B3+…+Bn-1). Умножим обе части уравнения на величину B. FVA*B = A*(B +B2 B3+…+Bn). Вычитая данное уравнение из предыдущего получим, FVA*(1-B) = A*(1-Bn). Или FVA = A/i*[(1+i)n-1]. По аналогии с функциями FM1(i, n)= (1+i)n и FM2(i, n)=1/ (1+i)n функции FM3(i, n)= 1/i*[(1+i)n-1] FM4(i, n)= [1/i-1/(i*(1+i)n)] и табулированы для различных значений i и п. Экономический смысл FМЗ(i, п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FМ4(i, п) показывает текущую стоимость аннуитета в одну денежную единицу при заданных значениях i и n. При выполнении некоторых инвестиционных расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет). В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение может быть получено на основе формулы PVA = A*[1/i-1/(i*(1+i)n)] при n стремящейся к бесконечности. PVA = A/i Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициента дисконтирования i обычно принимается гарантированная процентная ставка (например процент, предлагаемый государственным банком).
|
