Взаимосвязь между ковариацией и стандартным отклонением портфеля

Проанализируем полученное выше выражение для вариации портфеля, состоящего из двух ценных бумаг Х и У:

² = *W_х² + *W_у² +2* *W_х* W_у

В данной формуле первый и второй члены представляют вклад вариации активов Х и У в вариацию портфеля. Они всегда имеют знак плюс и, поэтому, этот вклад будет неотрицательным.

Третий член формулы содержит показатель ковариации активов и является ключевым при анализе влияния диверсификации на снижение риска. Ковариация может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от характера изменения активов Х и У. Для анализа влияния величины ковариации на риск портфеля рассмотрим три ситуации:

1. Наибольшая положительная ковариация.

2. Наибольшая (по абсолютной величине) отрицательная ковариация.

3. Ковариация, находящаяся между этими двумя крайними случаями.

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение активов Х и У представлены на рисунке.

Rp
								Y
Ry
Rx				X

Актив У имеет наибольшую доходность и наибольшее стандартное отклонение. Линии, соединяющие точки Х и У, характеризуют возможные портфели, которые могут быть сформированы из активов Х и У при различных их удельных весах. Например, точки, расположенные вблизи точки Х соответствуют портфелям, сформированным в основанном из активов Х, а вблизи У – из активов У.

Рассмотрим случай полной положительной ковариации активов. Коэффициент корреляции в этом случае близок к единице. Возможные значения доходности и стандартного отклонения портфеля для этого случая представлены на рисунке пунктирной линией, которая является прямой, соединяющей точки Х и У. Риск портфеля в этом случае является взвешенной суммой рисков составляющих портфель активов. Таким образом, при полной положительной ковариации активов эффект снижения риска вследствие диверсификации отсутствует. Обусловлено это тем обстоятельством, что все изменения доходности осуществляются строго в одном направлении.

Рассмотрим далее случай полной отрицательной ковариации между активами. В этом случае коэффициент корреляции равен -1. Штриховая линия, соединяющая точки Х и У позволяет вычислить стандартное отклонение и ожидаемое значение портфеля, которые можно получить при различных комбинациях активов Х и У при их полной отрицательной ковариации. Следует отметить, что ломаная линия, соединяющая точки Х и У в этом случае пересекает вертикальную ось. В точке пересечения стандартное отклонение равно нулю. Рассматриваемый случай полной отрицательной ковариации означает, что изменения активов происходит строго в противоположных направлениях. Следствием этого является снижение риска портфеля и даже его полное устранение.

Рассмотрим далее случай, когда корреляция активов имеет значение промежуточное между рассмотренными крайними случаями. На графике данная ситуация представлена сплошной линией. Этот вариант является более реалистичным, чем случаи полной положительной или полной отрицательной ковариации. Он соответствует ситуации, когда изменение активов происходит достаточно независимо друг от друга. Кривая, представленная сплошной линией иллюстрирует тот факт, что комбинирование рисковых активов в портфеле позволяет получить определенный эффект в плане снижения риска при условии, что эти активы не имеют полную положительную ковариацию. Следует отметить, что сплошная линия в данном случае не пересекает вертикальную ось и поэтому риск полностью не устраним.

Ключевым вопросом портфельного анализа является вопрос о том, какие виды риска могут быть устранены путем диверсификации. Риск, который может быть устранен посредством диверсификации, называется диверсифицируемым риском. Однако не все виды риска могут быть устранены таким образом. Риск, который остается в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле называется недиверсифицируемым. Этот вид риска называют также систематическим или рыночным риском.

Пример. Мы сформировали портфель из акций двух компаний Х и У. Эти ценные бумаги характеризуются следующими показателями доходности и риска: = 5%, = 10%, R_х = 15%, R_у = 18%. Мы видим, что акция с большей доходностью обладает и большим риском. Необходимо определить границы доходности и риска портфеля, составленного из данных акций, при значениях коэффициента корреляции: а) CR_ху = -1, б) CR_ху = 1, в) CR_ху = 0.

Анализ будем проводить для портфелей, структура которых представлена в следующей таблице:

Наименование акции	Номер варианта структуры портфеля
Х
У

 

Для расчета значения доходности и риска портфеля будем использовать следующие соотношения:

Rp = R_х*W_х+R_у*W_у

= ( ²*W_х² + ²*W_у² +2*W_х* W_у* * *CR_xy)^1/2

Результаты расчета доходности и риска портфеля представлены в таблице и на рисунке.

 

Номер портфеля	Доходность портфеля Rp	Риск портфеля
CRxy = -1	CRxy = 0	CRxy = 1
	17, 7	8, 5		9.5
	17, 4		8, 1
	17, 0	5, 1	6, 9	8, 4
	16, 5	2, 5	5, 6	7, 5
	16, 0		4, 7	6, 7
	15, 6		4, 5
	15, 3	3, 5	4, 6	5, 5

 

Результаты расчетов в данном примере подтверждают проведенный ранее качественный анализ характера зависимости доходности и риска портфеля для случаев полной положительной ковариации, полной отрицательной ковариации и ковариации находящейся между этими двумя крайними случаями.