Применение отношений для обработки данных

 

Отношение может быть не только бинарным, в общем случае отношением называется подмножество , т.е. элементом отношения является упорядоченный набор , где . При обработке данных наборы из n элементов называют записями, i -му элементу набора соответствует i -ое поле записи. Записи группируются в файлы, и если файлы содержат совокупность записей, удовлетворяющих некоторым отношениям, мы получаем базу данных. Таким образом, отношение удобно представлять в виде таблицы, каждая строка которой соответствует записи, а каждый столбец – определенному полю записи.

Любая ли таблица может задавать отношение? Очевидными являются следующие требования:

1) порядок столбцов таблицы фиксирован;

2) каждый столбец имеет название;

3) порядок строк таблицы произволен;

4) в таблице нет одинаковых строк.

Число n столбцов таблицы называется степенью отношения (говорят, что задано n -арное отношение). Число строк в таблице – количество элементов отношения. Математическая модель, описывающая работу с такими таблицами, называется реляционной алгеброй.

 

1.3.2. Теоретико-множественные операции реляционной алгебры

Так как отношения являются множествами, к ним применимы обычные операции теории множеств: пересечение, объединение, разность. Но в отличие от алгебры множеств в реляционной алгебре эти операции могут быть применены не к любым, а только к совместимым отношениям. Два отношения будем называть совместимыми, если их степени равны, а соответствующие поля относятся к однотипным множествам. Первое требование означает, что объединение, пересечение и разность определяются только для таблиц с одинаковым количеством столбцов, а второе – в соответствующих столбцах должны располагаться однотипные данные (не выполняется операция пересечения множества фамилий и множества зарплат).

Пересечением двух отношений R и S называется множество всех записей, каждая из которых принадлежит как R, так и S (рис. 1.14, а, б).

Объединением двух отношений R и S называется множество записей, которые принадлежат хотя бы одному из отношений R или S (рис.1.14, а, в).

Разностью двух отношений R и S называется множество всех записей, каждая из которых принадлежит отношению R, но не принадлежит отношению S (рис.1.14, а, г).

	R       S     A1 A2 A3   B1 B2 B3 a b a   a b c b a c         b c a   b c a а)   R Ç S   R È S   R \ S C1 C2 C2 D1 D2 D3 E1 E2 E3 b c a a b a a b a       b a c b a c       b c a             a b c       б) в) г) Рис. 1.14. Операции над совместимыми отношениями а) данные отношения R и S; б) пересечение отношений R и S; в) объединение отношений R и S; г) разность отношений R и S

 

В реляционной алгебре вводится операция расширенного декартова произведения. Пусть – элемент n- арного отношения R, а – элемент m -арного отношения S. Конкатенацией записей r и s назовем запись , полученную приписыванием записи s к концу записи r.

	R   S   R ´ S A1 A2   B1 B2 B3   C1 C2 C3 C4 C5 a b   k l m   a b k l m a c   b k c   a b b k c c e           a c k l m               a c b k c               c e k l m               c e b k c   Рис. 1.15. Расширенное декартово произведение отношений R и S

Расширенным декартовым произведением отношений R и S называется множество , элементами которого являются все возможные конкатенации записей и . Отметим, что полученное отношение имеет степень и важен порядок выполнения операции: .

В качестве упражнения запишите расширенное декартово произведение для отношений R и S (рис. 1.15) и сравните с отношением .