Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение задач 5,6 контрольной работы № 1





 

Задача 5. На множестве задано бинарное отношение : делится на . Представить отно-шение R различными способами; выяснить, какими свойствами оно обладает; является ли отношение R отношением эквивалентности или отношением порядка.

Решение. Отношение R можно задать перечислением всех элементов:

.

Наглядно представить отношение R можно с помощью графика (рис. 1.11, а), схемы (рис. 1.11, б), графа (рис. 1.12, а), матрицы отношения (рис. 1.12, б).

Выясним, какими свойствами обладает отношение.

Покажем, что отношение рефлексивно. При условие “ делится на 3” принимает вид – делится на 3 (выполняется при любых значениях ).

 

 
 

 

 


Проверим, является ли отношение симметричным. Пусть делится на 3 (т.е. ). Составим пару и для нее проверим характеристическое свойство отношения:

Очевидно, что делится на 3, а делится на 3по условию, следовательно, делится на 3, т.е. . Отношение симметрично.

 

 

Проверим, является ли отношение транзитивным. Пусть и , т.е. делится на 3и делится на 3. Будет ли делиться на 3 выражение , т.е. будет ли ? Преобразуем делится на 3, т.к. первые два слагаемых делятся на 3 по условию и третье слагаемое делится на 3. Значит , и отношение транзитивно.

Отношение R обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности. На графе отношения R (рис. 1.12, а) хорошо видны классы эквивалентности – это подмножества {1, 4}, {2, 5}, {3} множества Х.

Задача 6. Дано множество и отношение делитель . Показать, что отношение R является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества . Существуют ли в множестве X наибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?

Решение. Покажем, что отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Рефлексивность имеет место, так как любое число является своим делителем, т.е. .

Пусть одновременно выполняются условия: и . Тогда . Действительно, означает, что x – делитель y, т.е. найдется целое число m такое, что . Одновременно найдется целое число n такое, что . Отсюда и . Последнее равенство выполняется при или , но все элементы множества X – положительные числа, и второй случай невозможен. Следовательно, , т.е. , и отношение R антисимметрично.

Пусть и , значит, найдутся Z такие, что , . Тогда , где Z. Следовательно, x является делителем z и . Отношение R транзитивно.

Отношение R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка. Построим диаграмму Хассе частично упорядоченного множества . На нижнем (первом) уровне диаграммы поместим элементы , не имеющие других делителей, кроме себя ( и ). На втором уровне – элементы, не имеющие других делителей, кроме себя и элементов нижнего уровня ( и ). Оставшийся элемент делится на себя, на все элементы второго и первого уровней – помещаем его на третий уровень. Соединяем отрезком элементы соседних уровней, если элемент нижнего уровня является делителем элемента соседнего верхнего уровня. Диаграмма Хассе построена (рис. 1.13). Пара элементов тогда и только тогда, когда двигаясь по диаграмме только вверх, мы можем пройти от элемента x до элемента y.

 
 

 

 


По диаграмме Хассе легко обнаружить несравнимые элементы: 4 и 3; 2 и 3. Наибольшим элементом является (для всех выполнено условие “ x является делителем 12”). Наименьшего элемента нет, но есть два минимальных: и .

 

Контрольные вопросы и упражнения

 

1. Вставьте пропущенный знак “=” или “¹ ”:

{3, 5} _____ {5, 3}; (3, 5) _____ (5, 3).

2. Нарисуйте график декартова произведения , где , . Совпадает ли он с графиком ?

3. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х.

4. Обведите кружком номер правильного ответа:

Областью определения бинарного отношения R называется множество

1)

2)

3)

5. Найдите область определения и область значений отношения Q из примера 2 (п.п 1.2.2).

6. Какими способами можно задать бинарное отношение?

7. Нарисуйте график и схему отношения Р из примера 2 (см. 1.2.2).

8. Какое отношение является рефлексивным?

9. Какой особенностью обладает матрица рефлексивного отношения? А матрица симметричного отношения?

10. Вставьте пропущенное слово:

Отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности, называется отношением ________________.

11. Запись используется для обозначения ________ _____________.

12. Какое отношение называется отношением порядка?

13. Что такое частично упорядоченное множество?

14. Пусть R –отношение делимости. Какой порядок (частичный или линейный) задает это отношение на множестве ? А на множестве ? Построить диаграммы Хассе для и .

15. Что такое изоморфизм частично упорядоченных множеств? Изоморфны ли и







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 4772. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия