Решающие функции

Теория решающих функций является одной из наиболее новых областей статистики. Хотя они применяются широко, решающие функции здесь представлены только на примере контроля качества товара. Очевидно, что в некотором объеме товара процент брака оценивается тем точнее, чем больше элементов выбирается для пробы. Снятие пробы со многими элементами, однако, может быть связано с большими расходами. Может быть дорогостоящим и исследование элементов пробы, и бывает, когда в результате исследования элементы придут в негодное состояние. (Если, например, исследуется срок перегорания электрических ламп, приходится прокалить несколько электрических ламп).

Так как снятие проб связано с расходами, статистику нужно стремиться принять решение на основе пробы с небольшим количеством элементов. Однако решение, принятое на основе пробы с небольшим количеством элементов, будет ошибочно с большей вероятностью, чем решение, принятое на основе пробы с большим количеством элементов. Ошибочное решение может привести к крупным потерям. Статистик должен выбрать такое число элементов пробы, при котором расходы (расходы снятия пробы плюс расходы из-за ошибочных решений) будут минимальными.

Пусть – некоторая случайная переменная с неизвестной функцией распределения, с неизвестным параметром . Например, может означать некоторую характеристику поставляемого товара (например, вес, длину), и параметр , например, может представлять математическое ожидание случайной величины .

Решение следует принимать на основе пробы с элементами . Предположим, что возможные решения могут быть . Решение принимается на основе исследования пробы , то есть дается объяснение -мерной решающей функции , возможными значениями которой являются возможные решения .

Пусть обозначаются суммарные расходы через , если предположить, что значением параметра является и в результате исследования пробы принято решение . Зная функции и (функция распределения), математическое ожидание расходов станет исчислимым при условии . Пусть такое математическое ожидание обозначается через .

Количество элементов пробы и решающую функцию следует выбирать таким образом, чтобы значение было по возможности мало при любом значении , или иными словами, ищутся такое значение и такая функция , для которых значение является минимальным.

Такой вывод делается на основе рассуждений, проводимых по теории игр. Представим себе, что статистик и «природа» играют; в этой игре природа имеет право выбирать значение параметра , а правом статистика является выбирать решающую функцию. Иначе говоря, стратегиями природы являются возможные значения параметра , а стратегиями статистика – возможные решения. (Такая игра обычно не является конечной). По рассуждениям, проводимым в соответствии с теорией игр, очевидно, что самая хорошая стратегия статистика будет такая, что он случайно выбирает решение из возможных решений с некоторым распределением вероятностей.

Другой результат будет получен, если параметр рассматривается как случайная переменная. Тогда ситуация рассматривается таким образом, что значение является числом, зависящим от различных случайных факторов в некотором объеме товара, доставляемого в разных случаях. Предположим, что известна функция распределения случайной переменной , тогда величина также представляет собой случайную переменную. В таком случае статистический метод целесообразно выбирать таким образом, чтобы значение математического ожидания было минимальным.

 

Вопросы для самопроверки по разделу 2

1. Что понимается под статистическим распределением выборки?

2. Какую функцию называют эмпирической функцией распределения?

3. Какими свойствами обладает эмпирическая функция?

4. Что такое гистограмма частот?

5. Какую оценку называют точечной?

6. Какую оценку называют несмещенной?

7. Какую оценку называют смещенной?

8. Какую оценку называют несмещенной оценкой математического ожидания?

9. Какую оценку называют смещенной оценкой генеральной дисперсии?

10. Какую оценку называют несмещенной оценкой генеральной дисперсии?

11. В чем суть метода моментов точной оценки неизвестных параметров заданного распределения?

12. В чем суть метода наибольшего правдоподобия?

13. Приведите примеры известных Вам интервальных оценок?

14. В чем суть метода произведений вычисления выборочной средней, дисперсии, асимметрии и эксцесса?

15. В чем суть метода сумм?

16. Что такое интервал конфиденции?

17. Что такое решающие функции?