Решение. . . .

d= = = = .

 

 

3.4. Угол между плоскостями

Если даны две плоскости уравнениями:

(I)

, (II)

то их нормальные векторы

={ } и ={ }.

Задача 3.4. Определение угла между плоскостями сводится к нахождению угла между векторами (см. рис. 3.3).

Рис.3.3

 

Решение. Перенесем и в любую точку пространства и определим φ по скалярному произведению двух векторов

= .

Условие перпендикулярности двух плоскостей или

, параллельности – const.

 

3.5. Прямая в пространстве

1. Каноническое уравнение прямой (см. рис. 3.4.).

Пусть прямая проходит через т. параллельно данному вектору { m, n, p }.

Напишем уравнение этой прямой. Для этого возьмем на ней произвольную т. M(x, y, z). Составим вектор

={ }.

 

Рис.3.4

 

Этот вектор будет коллинеарен вектору . По условию коллинеарности векторов можно записать

– это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Вектор { m, n, p } называется направляющим вектором этой прямой. Если – единичный вектор, т.е. =1, то ; ; , где – углы образуемые вектором с осями Ox; Oy; Oz.

 

2. Параметрическое уравнение прямой.

Положим в канонических уравнениях отношения равными t – параметру

,

тогда получим:

, , или

– получим параметрическое уравнение прямой

Здесь – координаты точки , а m, n, p – проекции направляющего вектора .

Задача 3.5. Составить каноническое и параметрическое уравнение прямой, проходящей через т. M (1, 2, 3) и параллельно вектору {2, –7, 10}.