Решение. Замещаем приращение функции ее полным дифференциалом

Замещаем приращение функции ее полным дифференциалом.

Полагая, что есть частное значение функции в точке М ₁ (1, 08; 3, 96) и что вспомогательная точка будет М ₀ (1; 4), получим:

, так как ln1 = 0;

;

 

5.3. Дифференцирование сложных функции

 

Определение:

Функция Z называется сложной функцией от независимых переменных x, y, …, t, если задана она через промежуточные аргументы .

; ;

; .

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по независимой переменной:

Если все аргументы зависят от одной независимой переменной x, то z – сложная функция от x. Тогда производная сложной функции называется полной и вычисляется по формуле

 

Задача 5.10. , , v = cos x.

Далее.

 

Задача 5.11. , , .

Здесь z от u и v, а сами u и v зависят от x и y. Тогда

 

 

5.4. Частные производные высших порядков

Частные производные , первого порядка обычно зависят от тех же аргументов и каждую из них можно дифференцировать по каждому аргументу.

Обозначения:

– смешанная частная производная.

Аналогично определяются производные III, IV… порядков.

 

Задача 5.12. Найти частные производные второго порядка