Критерий Райта. Результат измерения xi (xmax или xmin)не принадлежит заданному распределению (т

Результат измерения x_i (x_max или x_min)не принадлежит заданному распределению (т. е. отягощен грубой погрешностью или промахом) с заданной вероятностью Р, если

, (2.1)

где t_p — доверительный коэффициент, или, другими словами, если x_i выходит за границы интервала .

Для нормального распределения обычно выбирают Р= 0, 9973, для которого t_p= 3, поэтому в этом случае критерий известен под названием " правило 3-х сигм". Вероятность отклонения " нормального" результата наблюдения за указанные границы в этом случае равна малой величине 1-
- Р= 0, 0027.

Аналогичным образом можно сформулировать данный критерий и для других распределений. Так, для распределения Лапласа значение t_р для вероятности 0, 9973 равно 4, 18. Для распределений, обладающих, в отличие от нормального, границами, следует выбирать Р= 1. В этом случае вероятность появления результатов наблюдения за границами распределения равна нулю.

Значения t_p для разных распределений указаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Значения t_p для различных распределений

Вид распределения	Арксинуса	Равномерное	Симпсона	Нормальное	Лапласа
tp					4.18

 

 

Недостаток критерия — он справедлив для выборок с количеством наблюдений n > 20..30, для которых можно считать, что и .

2.1.1.2 Критерий: Смирнова

При n < 20..30 для обнаружения грубых погрешностей и промахов пользуются критерием Смирнова, для которого выражение (2.1) принимает вид

(2.2)

где b - случайная величина, зависящая не только от вероятности Р, но и от числа наблюдений п.

Зависимость b от п для разных Р длянормального закона распределения результатов наблюдений имеет вид, указанный на рис. 2.1. В табл. Б.1 приложения приведены зависимости b (n) для разных законов распределения.

Рисунок 2.1 - Зависимость b (n) в критерии Смирнова для нормального закона распределения

2.1.2 Критерии согласия

По виду кумулятивной кривой и гистограммы, а также по полученным экспериментально оценкам эксцесса и асимметрии, высказывают гипотезу о виде распределения результатов наблюдения.

Правдоподобие гипотезы о соответствии распределения результатов наблюдения выбранному закону проверяют с помощью так называемых критериев согласия. Таких критериев существует множество. Рассмотрим некоторые из них, нашедшие наибольшее применение на практике.

2.1.2.1 Критерий Колмогорова

В этом критерии в качестве меры расхождения кумулятивной кривой и теоретической (действительной) интегральной функцией распределения взято максимальное значение модуля разности

.

Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений п, вероятность неравенства

стремится к пределу

.

Зависимость изображена на рис. 2.2 и приведена в табл. Б.2.

Схема применения критерия Колмогорова заключается в следующем:

1) строится кумулятивная кривая и предполагаемая теоретическая интегральная функция распределения и определяется максимум D модуля разности между ними;

2) определяется величина , где п — число наблюдений;

3) по таблице Б.2 находится вероятность того, что максимальное отклонение между и не будет превышать D. Если меньше заданной вероятности, гипотезу отвергают.

Рисунок 2.2 - Зависимость в критерии Колмогорова

Критерий Колмогорова очень прост и поэтому его охотно применяют на практике. Следует, однако, заметить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только вид функции , но и входящие в нее параметры. Обычно на практике известен только общий вид функции , а входящие в нее параметры определяются по данному статистическому материалу. В этом случае (при малом п) критерий Колмогорова дает завышенные значения вероятности , поэтому в ряде случаев можно принять как правдоподобную гипотезу, которая в действительности плохо согласуется с опытными данными.

2.1.2.2 Критерий Пирсона

В качестве меры расхождения гистограммы с теоретическим дифференциальным законом распределения вероятностей в критерии Пирсона принимается величина

, (2.3)

где т — число результатов наблюдений, попавших на j -й интервал гистограммы;

- действительное число результатов наблюдений, которые попали бы на j - й интервал, при полном соответствии эмпирического закона распределения гипотетическому.

Значение рассчитывается по формуле

,

где - значение гипотетической функции распределения в точке, соответствующей средине j -го интервала гистограммы, j= 1, 2,.., L;

п — общее число наблюдений;

- ширина интервала гистограммы.

Величина c распределена по закону Пирсона (рис.2.3). Распределение зависит от параметра k, называемого числом " степеней свободы".

Число степеней свободы равно числу интервалов гистограммы L, минус число независимых условий, наложенных на эмпирическое распределение. Для симметричных законов распределения такими условиями являются:

1) условие нормировки ;

2) требование равенства математического ожидания гипотетического распределения среднему арифметическому экспериментального распределения

3) требование равенства дисперсии гипотетического распределения оценке дисперсии экспериментального распределения

Рисунок 2.3 - Интегральная функция распределения Пирсона

Поэтому k=L-3. Для распределения Пирсона составлены соответст­вующие таблицы (см. табл. Б. З). Пользуясь этими таблицами можно найти для каждого и числа степеней свободы вероятность того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

На практике вероятностью задаются и по таблицам определяют величину . Если то гипотеза о виде закона распределения подтверждается, если то отклоняется.

При проверке закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только если п> 40..50.

2.1.2.3 Составной критерий

Составной критерий применяется для п, лежащего в диапазоне от 10..15 до 40..50, обычно, для проверки принадлежности экспериментального распределения нормальному. Критерий состоит из двух частей.

1. В первой части критерия для ряда наблюдений рассчитывается величина

(2.4)

и проверяется выполнение условий , где и зависят от вероятности Р (рис. 2.4), с которой принимается решение и находятся по табл. Б.4. Если это условие выполняется, переходят ко второй части критерия.

2. Во второй части критерия определяют количество т результатов наблюдений, которые выходят за границы интервала

,

где - доверительный коэффициент (для нормального распределения и );

- оценка среднеквадратического отклонения. При числе наблюдений n < 20, т не должно быть больше 1, а при n > 20, т < 2. Если и это условие выполняется, то гипотеза о нормальности распределения подтверждается. При невыполнении одного из условий гипотеза отклоняется.

Для законов распределения, отличных от нормального, значения коэффициента d берется из табл. Б.4, а значения доверительного коэффициента для проверки по второй части критерия — из табл. 2.1.

Рисунок 2.4 - Зависимость d от п в составном критерии

2.1.3 Интервальные оценки распределения результатов наблюдений и измерения

Доверительным интервалом называется интервал, границы которого симметричны относительно математического ожидания, а вероятность попадания в который результата измерений равна доверительной.

На рис. 2.5 видно, что ширина доверительного интервала 2 e зависит от доверительной вероятности , вида распределения и его среднеквадратического отклонения, которое характеризует степень рассеяния результатов измерений вокруг математического ожидания .

Если закон распределения неизвестен, то для оценки доверительного интервала следует воспользоваться неравенством Чебышева.

Для вывода неравенства оценим вероятность того, что измеряемая величина не попадает в доверительный интервал :

. (2.5)

По определению дисперсия X равна квадрату среднеквадратического отклонения и выражается формулой

. (2.6)

В формуле (2.6) положим подынтегральное выражение равным нулю на интервале . В этом случае будет иметь место неравенство

(2.7)

Так как по начальному условию , то заменив в неравенстве (2.7) на e мы усиливаем это неравенство, получая

. (2.8)

Правая часть неравенства (2.8) совпадает с правой частью выражения (2.5). Учитывая это, можно записать

,

откуда . (2.9)

В предельном случае

,

где - т. н. доверительный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Зависимость , для неизвестного закона распределения, вытекающая из неравенства Чебышева, представлена в табл. 2.2.

 

Рисунок 2.5 - Доверительная вероятность и доверительный интервал

Значения , получаемые из неравенства Чебышева, оказываются чрезмерно завышенными, особенно при . Поэтому для симметричных законов распределения можно воспользоваться неравенством Кампа-Мейделя

, (2.10)

откуда, в предельном случае

. (2.11)

Значения , полученные из неравенства Кампа-Мейделя для неизвестных симметричных законов распределения, приведены в табл.2.2.

Таблица 2.2

Зависимости доверительного коэффициента для различных законов распределения

Закон распределения	Доверительная вероятность РД
0, 9	0, 95	0, 99	0, 9973
Неравенство Чебышева	1, 63	4, 5
Неравенство Кампа-Мейделя	1, 1		6, 7
Равновероятный	1, 56	1, 65	1, 71
Симпсона	1, 67	1, 9	2, 2
Нормальный	1, 64	1, 96	2, 58
Лапласа	1, 63	2, 12	3, 26	4, 18
Арксинуса	1, 4	1, 4	1, 41

 

Для известных законов распределения значения доверительного коэффициента можно найти из выражения

, (2.12)

подставляя вместо соответствующее аналитическое выражения для интегральной функции распределения результатов или погрешностей измерения.

 

Равновероятное распределение (рис. А1, а).

Плотность распределения

(2.13)

Интегральная функция распределения

(2.14)

Числовые характеристики распределения — математическое ожидание ; среднеквадратическое отклонение .

Доверительная вероятность

. (2.15)

Отсюда ; .

Треугольное распределение (Симпсона) (рис. А.1, б).

Плотность распределения

(2.16)

Интегральная функция распределения

(2.17)

Числовые характеристики

;

Доверительная вероятность

(2.18)

Отсюда

; (2.19)

Нормальный закон (Гауса) (рис. А.1, в).

Плотность распределения

. (2.20)

Интегральная функция распределения

. (2.21)

Доверительная вероятность

.

Вводим замену переменного , откуда и вместо в пределах интегрирования необходимо записать

,

т. е. ,

где – функция Лапласа.

Отсюда получаем .

Значение функции , обратной функции Лапласа, табулированы (табл. Б.6).

Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа) (рис. АЛ, г).

Плотность распределения

. (2.23)

Интегральная функция распределения

(2.24)

Среднеквадратическое отклонение

Доверительная вероятность

.

Отсюда

; . (2.25)

Распределение по закону арксинуса (рис. А1, д).

Плотность распределения

(2.26)

Интегральная функция распределения

(2.27)

Доверительная вероятность

.

Отсюда

, . (2.28)

Зависимости числовых значений доверительных коэффициентов от доверительной вероятности для различных законов распределения приведены в табл. 2.2.

 

2.1.4 Минимизация случайной погрешности

Уменьшить случайную погрешность можно, определяя оценку математического ожидания многократных наблюдений измеряемой величины X. В этом случае за результат измерения, как правило, принимается среднее арифметическое результатов наблюдений

.

Поскольку определяется по конечному числу наблюдений, то является случайной величиной.

Дисперсия среднего арифметического результатов наблюдений в п раз меньше дисперсии однократного наблюдения

Поэтому, принимая за результат измерения , можно ожидать уменьшения случайной погрешности.

Границы погрешности среднего арифметического будут, очевидно, определяться выражением

(2.29)

Для определения границ погрешности среднего арифметического необходимо знать его закон распределения.

Центральная предельная теорема теории вероятности гласит: если имеется п независимых случайных величин x_i распределенных по одному и тому же закону с математическим ожиданием М_X и дисперсией D_X, то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному. Считается, что при п> 20..30 центральная предельная теорема соблюдается, поэтому в этом случае значения доверительного коэффициента в выражении (2.29) берется из таблицы для нормального распределения.

Если п < 20..30, то распределение х уже нельзя считать нормальным. Как же определить для этого случая?

Доверительная вероятность для равна .

Деля обе части неравенства на

,

получаем

(2.30)

Обозначим , тогда

,

где - интегральная функция распределения величины Т.

Закон распределения Т зависит от закона распределения x_i, и числа наблюдений п.

Из теории вероятности известно, что если величина x_i распределена по нормальному закону, то величина Т распределена по так называемому закону Стьюдента с k= (n- 1) степенью свободы.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис. 2.6)

,

где , - гамма-функция.

С ростом п распределение Стьюдента приближается к нормальному и при n > 20..30 уже неотличимо от него (рис. 2.6).

Таким образом, если известно, что результаты отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то при числе наблюдений n =2..20 при определении границ случайной погрешности доверительный коэффициент берется из таблиц распределения Стьюдента для (n -1)-й степени свободы и заданной доверительной вероятности . Зависимость коэффициента Стьюдента приведена на рис. 2.7 и в табл. Б.5. При отсутствии таблиц с распределением Стьюдента, значение коэффициента для n =6..20 можно определить приближенно (с погрешностью до 20 %) по формуле

,

где - доверительный коэффициент для нормального распределения.

 

 

Рисунок 2.6 - Распределение Стьюдента Рисунок 2.7 - Зависимость доверительного коэффициента от доверительной вероятности для распределения Стьюдента

На рис. 2.8 приведен порядок определения границ случайной погрешности результата измерения.

Рисунок 2.8 - Порядок определения границ случайной погрешности результата измерения

2.2 Пример выполнения контрольного задания

2.2.1 Задание

Определите границы случайной погрешности результатов много­кратных измерений, приведенных в примере выполнения контрольного задания в разделе 1 (пп. 1.2.1), для доверительной вероятности и уровня значимости критериев согласия .

2.2.2 Выполнение задания

По виду гистограммы и кумулятивной кривой заданных результатов наблюдений, а также по полученным точечным оценкам асимметрии и эксцесса, высказываем гипотезу о том, что результат наблюдения распределен по нормальному закону.

1. Определение грубых погрешностей и промахов по критерию Райта.

Результат измерения x_i (x_max или x_min)не принадлежит нормальному распределению с заданной вероятностью Р, если

,

т. е. если x_i, - выходит за границы интервала где -доверительный коэффициент, берется табл. 2.1. Подставляя в это выражение вместо и их оценки и , с уче­том того, что для нормального закона распределения (для вероятности ), определяем границы интервала, которые будут равны 1.77375 и 8.62275 соответственно. За границы этого интервала не выходит ни один результат измерения, т. е. промахов и грубых погрешностей нет

2. Определение грубых погрешностей и промахов по критерию Смирнова.

По°критерию Смирнова результат измерения x_i не принадлежит заданному распределению с заданной вероятностью Р, если

,

где b - случайная величина, зависимая от Р и числа наблюдений n.

Для числа измерений n= 40 и уровня значимости и значение b по табл. Б.1 равно 3, 07. Тогда интервал будет равен (1, 693845; 8, 702655), т. е. все результаты измерения x_i принадлежат нормальному распределению.

 

3. Проверка по критерию Пирсона

Для полученных ранее значений средин интервалов гистограммы, рассчитываем значения плотности вероятности теоретического распределения, воспользовавшись формулой (2.20)

и занесем их в таблицу (2.3).

Вычисляем частоты попаданий результатов наблюдений, подчиняющихся теоретическому распределению по формуле:

.

Вычисленные значения и значения частот экспериментального распределения заносим в табл.2.3.

Таблица 2.3

Результаты расчета

j	xср j	p(xср j)	mjd	mj
	2.674	0.0303	1.029		0.001
	3.523	0.1190	4.040		0.268
	4.371	0.2688	9.125		0.084
	5.22	0.3494	11.861		0.109
	6.069	0.2613	8.871		0.002
	6.917	0.1125	3.818		0.175
	7.766	0.0279	0.945		0.003

Рассчитаем для каждого интервала j значение и занесем их в табл. 2.3.

Определим суммарное значение .

По таблице Б. З для заданной вероятности Р=0, 95 и числа степеней свободы k= 7–3=4 находим значение .

Так как , то это свидетельствует о том, что гипотеза о нормальном распределении экспериментальных данных верна.