Равномерное распределение. Плотность распределения (рис

Плотность распределения (рис. А.1, а)

Так как в выражение для функции распределения не входит аргумент X, то обычная техника использования принципа максимального правдоподобия здесь неприемлема. Однако в этом случае экстремальная задача может быть решена непосредственно.

Функция правдоподобия

Параметры а и b отыскиваются из ряда наблюдений x_1, x_2, …x_n, причем

; .

Очевидно, что решение экстремальной задачи будет достигаться в том случае, когда

; ,

т. е. для равномерного распределения эффективные оценки математического ожидания и дисперсии будут находиться через минимальные и максимальные значения ряда наблюдений. Поэтому эффективной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое границ вариационного ряда

(1.25)

а дисперсия

(1.26)

Для других симметричных распределений предлагается определять эффективную оценку математического ожидания в зависимости от величины оценки островершинности (эксцесса) их распределений (табл. 1.2)

(1.27)

Если , т. е. распределение близко к экспоненциальному (E= 3), то за оценку математического ожидания лучше взять медиану.

Если , т. е. распределение близко к нормальному (Е =0), то за ее оценку лучше взять среднее арифметическое.

Если , т. е. распределение близко к равномерному, то наиболее целесообразно оценкой математического ожидания считать среднее арифметическое границ вариационного ряда

Таблица 1.2

Эффективные оценки математического ожидания для симметричных распределений

E	< -0.5	-0.5…1	> 1

Для определения оценки асимметрии используется следующее выражение:

. (1.28)

Оценка эксцесса определяется выражением (1.27):

Для малого числа наблюдений эти оценки, также как и оценка сред­него квадратического отклонения, оказываются смещенными. Несмещенные оценки асимметрии и эксцесса выражаются формулами:

; (1.29)

. (1.30)