Линеаризация нелинейных уравнений методом последователь­ных приближений

Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несо­вместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных, их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, что подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим

Переписав полученное выражение в виде

,

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК

дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S²( ) = S² (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.

 

Рисунок 6.1 - Графики аппроксимирующих функций

уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим

Переписав полученное выражение в виде

,

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК

дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S²( ) = S² (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.

6.2 Пример выполнения контрольного задания

6.2.1 Задание

Определите вид и параметры функциональной зависимости Y=f(x, a₀ a₁), аппроксимирующей экспериментальную зависимость, приведенную в табл. 6.1. С доверительной вероятностью Р = 0, 95 найдите границы погрешности и определения параметров a₀ и А₁ функции.

6.2.2 Выполнение задания

1. Строим экспериментальную зависимость (рис. 6.2) и по ее виду, пользуясь рис. 6.1, задаем предполагаемый функциональный вид зависимости

Рисунок 6.2 - Экспериментальная зависимость

2. Поскольку эта зависимость нелинейная, необходимо привести ее клинейной. Для этого воспользуемся приемом линеаризации (см. п.п. 6.1.3). Вводя замену переменной , получаем .

Значения х* приведены в табл. 6.1.

Строим график полученной зависимости Y = /(**) (рис. 6.3) и убеж­даемся в его линейности, т.е. вид функциональной зависимости задан правильно.

3. Определим параметры a₀ и А₁ зависимости (6.16) методом наи­меньших квадратов. Для этого находим значения сумм Гаусса: .

Нормальная система уравнений имеет вид

416, 2 = 20 +42, 3

982, 9 = 42, З + 102, 16

Таблица 6.1.

Экспериментальные и линеаризованные зависимости

x	Y	x*	d	Yопр
	3.62		4.18*10-5	3.6200
	9.25	0.6931	-1.4018*10-3	9.2489
	12.54	1.0986	1.6*10-3	12.5417
	14.88	1.3863	-2.033*10-3	14.8779
	16.69	1.6094	-2.73*10-4	16.6900
	18.17	1.7918	9.69*10-4	18.1706
	19.42	1.9459	2.391*10-3	19.4225
	20.51	2.0794	-3.477*10-3	20.5068
	21.46	2.1972	3.159*10-3	21.4634
	22.32	2.3026	-9.04*10-4	22.3189
	23.09	2.3979	3.012*10-3	23.2929
	23.80	2.4849	-4.75*10-4	23.7996
	24.45	2.5649	-8.07*10-4	24.4498
	25.05	2.6391	1.759*10-3	25.0514
	25.61	2.7080	1.285*10-3	25.6117
	26.14	2.7726	-4.108*10-3	26.1358
	26.63	2.8332	-1.173*10-2	26.6281
	27.09	2.8904	2.527*10-3	27.0983
	27.53	2.9444	1.053*10-3	27.5314
	27.95	2.9957	-2.348*10-3	27.5479

 

Рисунок 6.3 - Линеаризованная зависимость

По формулам (6. 17)-(6.19), находим =3, 6200418; =8, 1208432.

Подставляя оценки , в условную систему уравнений, получаем значения невязок , по формуле

Значения рассчитанных невязок приведены в табл. 6. 1.

4. Для определения оценок среднеквадратического отклонения , воспользуемся выражениями (6.20)-(6.21)

;

;

.

Для определения границ погрешностей нахождения , вос­пользуемся выражением (6.22), для чего по табл. Б.5 для числа степеней свободы п -т -1=18, находим для заданной вероятности Р _д=0, 95

В этом случае , .

6.3 Варианты контрольных заданий

Таблица 6.2

Варианты 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43 ()

x	1)P=0.9	8)P=0.95	15)P=0.99	22)P=0.9	29)P=0.95	36)P=0.99	43)P=0.9
	10.4	15.7	32.0	38.8	14.8	4.02	4.13
	11.7	21.9	46.7	58.3	23.7	6.89	4.76
	12.9	28.0	61.4	77.8	32.7	9.76	5.41
	14.2	34.1	76.2	97.3	41.6	12.62	6.06
	15.4	40.2	90.9	116.8	50.6	15.49	6.71
	16.7	41.3	105.7	136.2	59.5	18.35	7.33
	17.9	52.5	120.4	155.7	68.5	21.22	7.97
	19.2	58.6	135.1	175.2	77.4	24.09	8.62
	20.4	64.7	149.9	194.7	86.4	26.95	9.26
	21.7	70.8	164.6	214.2	95.4	29.82	9.91
	22.9	77.0	179.4	233.7	104.3	32.69	10.54
	24.9	83.1	194.1	253.1	113.3	35.56	11.17
	25.4	89.2	208.8	272.6	122.2	38.43	11.82
	26.7	95.3	223.6	292.1	132.2	41.31	12.46
	27.9	101.5	238.3	311.6	140.2	44.16	13.1
	29.1	107.6	253.1	331.1	149.1	47.02	13.73
	30.4	113.7	267.8	350.6	158.1	49.89	14.40
	31.6	119.8	282.5	370.0	167.0	52.76	15.04
	32.9	125.9	297.3	389.5	176.0	55.63	15.67
	34.1	132.1	312.0	409.0	184.9	58.49	16.31

Таблица 6.3

Варианты 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44 ()

x	2)P=0.9	9)P=0.95	16)P=0.99	23)P=0.9	30)P=0.95	37)P=0.99	44)P=0.9
	0, 538	0, 38	1, 53	2, 00	3, 20	1, 91	37, 22
	0, 547	0, 91	1, 80	2, 04	7, 37	2, 25	27, 87
	0, 552	1, 51	1, 98	2, 07	12, 0	2, 65	20, 86
	0, 556	2, 15	2, 12	2, 09	16, 95	3, 12	15, 62
	0, 558	2, 84	2, 23	2, 11	22, 17	3, 67	11, 69
	0, 561	3, 55	2, 33	2, 12	27, 60	4, 32	8, 75
	0, 563	4, 30	2, 42	2, 13	33, 23	5, 08	6, 65
	0, 564	5, 07	2, 50	2, 14	39, 01	5, 98	4, 91
	0, 566	5, 87	2, 57	2, 15	44, 98	7, 04	3, 67
	0, 567	6, 08	2, 63	2, 15	51, 01	8, 27	2, 75
	0, 569	7, 62	2, 69	2, 16	57, 21	9, 73	2, 06
	0, 570	8, 32	2, 75	2, 17	63, 51	11, 45	1, 55
	0, 571	9, 24	2, 80	2, 17	69, 93	13, 47	1, 15
	0, 572	10, 13	2, 85	2, 18	76, 45	15, 85	0, 86
	0, 573	11, 03	2, 90	2, 18	83, 06	18, 64	0, 65
	0, 574	11, 94	2, 94	2, 19	89, 76	21, 93	0, 48
	0, 574	12, 87	2, 98	2, 19	96, 54	25, 80	0, 36
	0, 575	13, 81	3, 03	2, 19	103, 41	30, 35	0, 26
	0, 576	14, 77	3, 06	2, 20	110, 35	35, 70	0, 2
	0, 577	15, 73	3, 10	2, 20	117, 37	42, 00	0, 15

Таблица 6.4

Варианты 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45 ()

x	3)P=0.9	10)P=0.95	17)P=0.99	24)P=0.9	31)P=0.95	38)P=0.99	45)P=0.9
	8, 45	6, 25	2, 71	2, 10	1, 54	0, 47	6, 11
	9, 10	6, 79	2, 99	2, 33	1, 72	1, 67	9, 59
	9, 81	7, 37	3, 29	3, 58	1, 93	3, 51	12, 48
	10, 57	8, 00	3, 63	2, 86	2, 16	6, 02	15, 05
	11, 39	8, 69	4, 00	3, 17	2, 42	9, 05	17, 39
	12, 28	9, 44	4, 41	3, 51	2, 71	12, 72	19, 58
	13, 23	10, 24	4, 86	3, 89	3, 03	16, 92	21, 64
	14, 26	11, 12	5, 35	4, 31	3, 39	21, 65	23, 60
	15, 37	12, 08	5, 90	4, 78	3, 80	26, 87	25, 48
	16, 56	13, 11	6, 50	5, 30	4, 25	32, 66	27, 28
	17, 85	14, 24	7, 17	5, 78	4, 76	38, 97	29, 03
	19, 24	15, 46	7, 90	6, 51	5, 32	45, 73	30, 71
	20, 73	16, 78	8, 70	7, 21	5, 96	53, 05	32, 35
	22, 35	18, 22	9, 59	7, 99	6, 67	60, 83	33, 95
	24, 08	19, 78	10, 57	8, 86	7, 49	69, 09	35, 50
	25, 95	21, 48	11, 65	9, 82	8, 36	77, 84	37, 02
	27, 97	23, 32	12, 84	10, 88	9, 36	87, 07	38, 51
	30, 14	25, 32	14, 16	12, 06	10, 48	96, 76	39, 97
	32, 49	27, 49	15, 60	13, 37	11, 73	106, 93	41, 40
	35, 01	29, 84	17, 20	14, 82	13, 13	117, 56	42, 80

Таблица 6.5

Варианты 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 ()

x	4)P=0.9	11)P=0.95	18)P=0.99	25)P=0.9	32)P=0.95	39)P=0.99	46)P=0.9
	10, 72	21, 90	18, 64	13, 03	10, 36	1, 63	15, 98
	8, 95	13, 69	13, 24	10, 62	9, 06	1, 71	13, 15
	7, 68	9, 96	10, 27	8, 96	8, 05	1, 79	11, 18
	6, 72	7, 82	8, 39	7, 74	7, 24	1, 88	9, 72
	5, 98	6, 44	7, 09	6, 82	6, 58	1, 98	8, 59
	5, 39	5, 48	6, 14	6, 10	6, 03	2, 09	7, 01
	4, 90	4, 76	5, 41	5, 51	5, 57	2, 22	6, 98
	4, 49	4, 21	4, 84	5, 03	5, 17	2, 36	6, 38
	4, 15	3, 78	4, 38	4, 62	4, 83	2, 52	5, 88
	3, 85	3, 42	4, 00	4, 28	4, 52	2, 71	5, 45
	3, 60	3, 13	3, 68	3, 98	4, 26	2, 92	5, 08
	3, 37	2, 88	3, 40	3, 72	4, 02	3, 17	4, 75
	3, 17	2, 67	3, 17	3, 49	3, 81	3, 46	4, 47
	3, 00	2, 49	2, 96	3, 29	3, 62	3, 82	4, 22
	2, 84	2, 33	2, 78	3, 11	3, 45	4, 27	3, 99
	2, 70	2, 19	2, 62	2, 95	3, 29	4, 82	3, 79
	2, 57	2, 07	2, 48	2, 81	3, 15	5, 54	3, 60
	2, 45	1, 96	2, 35	2, 68	3, 02	6, 52	3, 44
	2, 35	1, 86	2, 24	2, 56	2, 89	7, 91	3, 29
	2, 25	1, 77	2, 13	2, 45	2, 78	10, 05	3, 15

 

 

Таблица 6.6

Варианты 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47 ()

x	5)P=0.9	12)P=0.95	19)P=0.99	26)P=0.9	33)P=0.95	40)P=0.99	47)P=0.9
	0, 229	0, 0818	0, 0381	1, 1104	133, 1	2, 59	0, 17
	0, 284	0, 09558	0, 0480	1, 1464	174, 1	4, 88	0, 35
	0, 304	0, 1015	0, 0526	1, 1589	194, 1	6, 91	0, 56
	0, 322	0, 1047	0, 0552	1, 1653	205, 7	8, 74	0, 78
	0, 331	0, 1066	0, 0569	1, 1692	213, 7	10, 37	1, 04
	0, 338	0, 1080	0, 0581	1, 1717	219, 2	11, 85	1, 33
	0, 342	0, 1090	0, 0590	1, 1736	223, 3	13, 20	1, 65
	0, 346	0, 1098	0, 0597	1, 1750	226, 5	14, 43	2, 03
	0, 349	0, 1104	0, 0602	1, 1761	229, 1	15, 56	2, 46
	0, 351	0, 1108	0, 0610	1, 1769	231, 2	16, 59	2, 97
	0, 353	0, 1112	0, 0613	1, 1777	232, 9	17, 55	3, 57
	0, 355	0, 1116	0, 0616	1, 1782	234, 4	18, 43	4, 29
	0, 356	0, 1119	0, 0618	1, 1787	235, 6	19, 26	5, 18
	0, 357	0, 1121	0, 0620	1, 1792	236, 7	20, 02	6, 29
	0, 358	0, 1123	0, 0622	1, 1796	237, 6	20, 73	7, 75
	0, 359	0, 1125	0, 0624	1, 1799	238, 5	21, 40	9, 69
	0, 360	0, 1127	0, 0625	1, 1802	239, 2	22, 03	12, 47
	0, 361	0, 1128	0, 0626	1, 1804	239, 9	22, 62	16, 71
	0, 361	0, 1130	0, 0627	1, 1807	240, 9	23, 99	24, 04
	0, 362	0, 1131	0, 0628	1, 1809	241, 1	23, 69	39, 69

Таблица 6.7

Варианты 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 ()

x	6)P=0.9	13)P=0.95	20)P=0.99	27)P=0.9	34)P=0.95	41)P=0.99	48)P=0.9
	19, 35	1, 550	10, 383	1, 452	15, 155	3, 49	5, 14
	32, 68	2, 760	18, 324	14, 785	15, 850	14, 22	13, 36
	40, 48	3, 469	22, 969	22, 585	16, 257	20, 49	18, 17
	46, 02	3, 972	26, 265	28, 118	16, 546	24, 95	21, 58
	50, 31	4, 362	28, 821	32, 411	16, 769	28, 41	24, 23
	53, 82	4, 681	30, 910	35, 917	17, 952	31, 23	26, 39
	56, 78	4, 951	32, 676	38, 883	17, 107	33, 61	28, 22
	59, 35	5, 184	34, 205	41, 451	17, 241	35, 68	29, 80
	61, 62	5, 339	35, 555	43, 717	17, 359	37, 51	31, 20
	63, 64	5, 574	36, 762	45, 744	17, 465	39, 14	32, 45
	65, 68	5, 741	37, 854	47, 577	17, 561	40, 61	33, 58
	67, 15	5, 893	38, 851	49, 251	17, 641	41, 96	34, 61
	68, 69	6, 034	39, 768	50, 779	17, 728	43, 19	35, 56
	70, 12	6, 163	40, 617	52, 216	17, 803	44, 35	36, 44
	71, 45	6, 283	41, 407	53, 541	17, 872	45, 41	37, 26
	72, 68	6, 396	42, 164	54, 786	17, 937	46, 41	38, 03
	73, 85	6, 502	42, 841	55, 951	17, 997	47, 35	38, 75
	74, 95	6, 603	43, 496	57, 050	18, 055	48, 23	39, 42
	76, 99	6, 697	44, 115	58, 090	18, 109	49, 07	40, 06
	76, 98	6, 786	44, 703	59, 076	18, 160	49, 87	40, 67

Таблица 6.8

Варианты 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 ()

x	7)P=0.9	14)P=0.95	21)P=0.99	28)P=0.9	35)P=0.95	42)P=0.99	49)P=0.9
	21, 68	29, 03	29, 88	22, 63	43, 22	21, 71	27, 89
	12, 71	11, 56	16, 37	14, 73	16, 74	12, 61	16, 34
	9, 72	5, 74	11, 86	12, 10	7, 91	9, 58	12, 49
	8, 23	2, 83	9, 61	10, 78	3, 50	8, 07	10, 57
	7, 33	1, 08	8, 26	9, 98	0, 85	7, 16	9, 41
	6, 73	-0, 09	7, 36	9, 46	-0, 92	6, 55	8, 64
	6, 30	-0, 92	6, 72	9, 09	-2, 18	6, 12	8, 09
	5, 98	-1, 54	6, 23	8, 80	-3, 12	5, 79	7, 68
	5, 73	-2, 03	5, 86	8, 58	-3, 86	5, 54	7, 36
	5, 53	-2, 41	5, 56	8, 41	-4, 45	5, 34	7, 10
	5, 37	-2, 73	5, 31	8, 26	-4, 93	5, 17	6, 89
	5, 24	-3, 00	5, 11	8, 14	-5, 33	5, 03	6, 72
	5, 12	-3, 22	4, 94	8, 04	-5, 67	4, 92	6, 57
	5, 02	-3, 41	4, 79	7, 96	-5, 96	4, 82	6, 44
	4, 94	-3, 58	4, 66	7, 88	-6, 21	4, 73	6, 33
	4, 86	-3, 72	4, 55	7, 82	-6, 43	4, 65	6, 23
	4, 80	-3, 85	4, 45	7, 76	-6, 63	4, 58	6, 15
	4, 74	-3, 97	4, 36	7, 71	-6, 80	4, 53	6, 07
	4, 68	-4, 07	4, 28	7, 66	-6, 96	4, 48	6, 01
	4, 64	-4, 16	4, 21	7, 62	-7, 09	4, 43	5, 94

 

Приложение А - Законы распределения случайных величин

Равновероятное распределение (рис. А1, а).

Плотность распределения

Интегральная функция распределения

Параметры А - 0; E - -1, 2; t_p=

Треугольное распределение (Симпсона) (рис. А1, б).

Плотность распределения

Интегральная функция распределения

Параметры A = 0; Е = -0, 6;

Нормальный закон (Гаусса) (рис. А1, в).

Плотность распределения