Постановка задачи. На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья

 

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве. Рассмотрим несколько возможных примеров постановки таких задач.

Постановка задачи А. Для изготовления n видов изделий И., И₂,..., И_п необходимы ресурсы m видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно требуемое количество отдельного i-ro ресурса для изготовления каждого j-ro изделия. Назовем эту величину нормой расхода с_ij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, - а_i Известна прибыль П., получаемая предприятием от изготовления каждого j-ro изделия. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве должны производиться предприятием, чтобы прибыль была максимальной. Исходные данные представлены в табл. 3.3.2.1.

Постановка задачи В. Пусть в распоряжении завода железобетонных изделий (ЖБИ) имеется m видов сырья (песок, щебень, цемент) в объемах а_i Требуется произвести продукцию n видов. Дана технологическая норма с. потребления отдельного i-ro вида сырья для изготовления единицы продукции каждого j-ro вида. Известна прибыль П.., получаемая от выпуска единицы продукции j-ro вида. Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве должен производить завод ЖБИ, чтобы получить максимальную прибыль. Исходные данные представлены в табл. 3.3.2.2.

 

Таблица 3.3.2.1

Используемые ресурсы, qj	Изготавливаемые изделия	Наличие ресурсов, а j
И.	И2	Из	И4
Трудовые
Материальные
Финансовые
Прибыль, rij

 

Таблица 3.3.2.2

Используемые ресурсы, о.	Изготавливаемых изделий	Наличие ресурсов, а.
И1	И2	Из	И4
Песок
Щебень
Цемент
Прибыло, rij

 

Постановка задачи С. Пусть на предприятии после модернизации производства появился свободный ресурс времени оборудования. Предлагается организовать производство новых изделий нескольких наименований. Известно время, требуемое на изготовление отдельного изделия на каждом оборудовании, свободные резервы времени на каждой машине, а также прибыль, получаемая от выпуска каждого изделия. Требуется определить, какие изделия и в каком количестве целесообразно производить, чтобы получить максимальную прибыль.

 

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Количество изделий j-ro наименования, которое может производить предприятие, обозначим через х.

Зная количество каждого вида i-ro ресурса для изготовления отдельного j-ro типа изделия - норму расхода с_г - и количество каждого i-ro ресурса а. (табл. 3.3.2.2), можно задать следующую систему неравенств:

Зх₁+5х₂+2х₃+7х₄< 15

4х₁+3х₂+3х₃+5х₄< 9 (3.3.2.1)

5х₁+6х₂+4х₃+8х₄< 30

Полученную систему неравенств можно записать в виде совокупности равенств, если в каждое из них ввести фиктивные изделия (дополнительные переменные) х₅, х₆, х₇, при изготовлении которых используют каждый оставшийся вид ресурса.

В этом случае система равенств примет вид:

3x₁ + 5х₂ + 2х₃ + 7х₄ +x₅ = 15

4x₁ + 3x₂ + 3х₃ + 5х₄ + х₆ = 9 (3.3.2.2)

5x_t + 6х₂ + 4хз + 8х₄ + х₇ = 30

Это преобразование необходимо для дальнейшего упрощения вычислений. Прибыль, получаемая от фиктивных изделий, принимается равной нулю.

Построение математической модели. Критерий оптимизации (суммарная величина прибыли) можно представить как:

EcjXj (3.3.2.3)

Граничные условия будут записаны следующим образом:

_Xj> 0 (j = l, 2,..., 7) (3.3.2.4)

Совокупность системы ограничений (3.3.2.2), целевой функции (3.3.2.3) и граничных условий (3.3.2.4) образует математическую модель для нашей задачи.