Анализ линейной корреляции по опытным данным

Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :

(x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (x_i, y_i),..., (x_n, y_n).

За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и [см. формулы (66) и (67)]:

(78)

 

(79)

Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:

(80)

Можно показать, что сходится по вероятности к коэффициенту корреляции .
Заменяя в соотношениях (76) величины , и их выборочными значениями , и [см. формулы (79) и (80)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:

(81)

Подставляя в уравнения (74) и (75) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (78) и (81), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:

на :

(82)

на :

(83)

При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , , и коэффициента корреляции поступим следующим образом (см. § 9, п. 2, замечание).
Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин и разобьем соответственно на интервалы

]X₀, X₁[, ]X₁, X₂[,..., ]X_i-1, X_i[,..., ]X_k-1, X_k[

и

]Y₀, Y₁[, ]Y₁, Y₂[,..., ]Y_j-1, Y_j[,..., ]Y_s-1, Y_s[

Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала c_i (d_j). Пусть ( ) - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x₀ и y₀ - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений и . Полагая u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀ и используя формулы (70) и (71), получим:

(84)

где

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции по формуле (80) сначала запишем выражение в новых переменных u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀. Обозначим через m_ij число наблюдаемых значений пар , у которых значения попали в i -й интервал ] X_i-1, X_i [, а значения - в j -й интервал ] Y_j-1, Y_j [. Каждое из этих значений и заменим соответствующими серединами c_i и d_j интервалов ] X_i-1, X_i [ и ] Y_j-1, Y_j [. Тогда

где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i, j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1 до s. После преобразований в результате получим

Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид

 

Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола ( ) сосны и ее высотой ( ) было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22, 5 до 28, 5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную вразделе 9.1.

Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа m_ij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших в данный интервал, равной середине с_i этого интервала, а диаметр ствола - равным середине d_j cоответствующего интервала. Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85). Для подсчета , , и составляем две вспомогательные таблицы, принимая x₀=25 и y₀=34, т.е. u_i=c_i-25 и v_j=d_j-34.

Номер интервала Середина интервала ci высоты     -2     -4       -1     -4

Номер интервала Середина интервала dj диаметра     -12     -24       -8     -40       -4     -20                                                                   -4

Из первой таблицы для высоты сосны получаем

Из второй таблицы для диаметра ствола сосны находим

Для подсчета составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число m_ij сосен, имеющих одни и те же значения u_i а v_j, а слева указано произведение m_iju_iv_j. Последний столбец состоит из суммы всех m_iju_iv_j при постоянном j. Как видно из таблицы

	ui
vj	-2	-1
-12	48 \ 2
-8		16 \ 2	0 \ 1	-16 \ 2
-4		8 \ 2	0 \ 2		-8 \ 1
			0 \ 2	0 \ 1
			0 \ 1	4 \ 1	16 \ 2
				16 \ 2		72 \ 3
					48 \ 2

Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:

По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:

По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид

y-33, 85=3, 81(x-25, 65), или y=3, 81x-63, 88

Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид

x-25, 65=0, 15(y-33, 85), или x=0, 15y+21, 57

Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.