Наращение процентов m раз в году

На практике в современных условиях проценты начисляются и капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. В таких случаях будущую стоимость платежа можно вычислить по формуле:

где - число периодов начисления в году.

Каждый раз проценты начисляются по ставке . При этом ставку называют номинальной (nominal rate).

Очевидно, чем больше , т.е., чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет наращение суммы.

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. Для этого осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту, называемому эффективной (действительной) (effective percentage rate – EPR) процентной ставкой или ставкой сравнения. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и - разовое начисление процентов по ставке .

По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при - разовом начислении) должны быть равны друг другу:

Отсюда:

Эффективная ставка при больше номинальной.

Замена в договоре номинальной ставки r при - разовом начислении на эффективную ставку EPR не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.

Введем следующее обозначение: r(m) – размер номинальной ставки количество начислений за год.

Эквивалентная замена номинальной ставки возможна только в том случае, когда выполняется равенство:

Отсюда,