Решение. Для определения углового ускорения барабана 2 выберем в качестве обобщенной координаты его угловое перемещение φ

Для определения углового ускорения барабана 2 выберем в качестве обобщенной координаты его угловое перемещение φ. Тогда уравнение Лагранжа 2-го рода для координаты φ и соответственно обобщенной скорости запишем в виде

.

Механическая система изображена в смещенном положении с учетом положительного направления координаты φ (см. рис. 3.17), показаны все активные силы, действующие на нее: силы тяжести грузов 1, 4 и барабанов 2, 3, а также сила трения груза 4 о наклонную плоскость. Если положительное элементарное приращение обобщенной координаты системы , то величины будут элементарными приращениями соответствующих координат.

Найдем сумму работ всех перечисленных сил на этих элементарных приращениях

,

где

Так как в последней формуле сила трения груза 4 , то

.

Поскольку , то работы сил также равны нулю, т.е. .

Запишем кинематические соотношения, учитывая, что зависимость между элементарными приращениями координат такая же, как и между соответствующими скоростями

.

Теперь, подставляя исходные данные, посчитаем сумму элементарных работ всех сил

=

,

откуда найдем обобщенную силу, соответствующую выбранной обобщенной координате φ,

.

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий тел 1-4, входящих в эту систему,

.

Для ее вычисления нужно выразить линейные и угловые скорости точек и тел системы через обобщенную скорость , а затем определить все составляющие:

– груза 1, совершающего поступательное движение,

;

– барабана 2, совершающего вращательное движение,

,

где – момент инерции барабана относительно его продольной центральной оси, ; – его угловая скорость, ;

– барабана 3, совершающего вращательное движение,

,

где – момент инерции барабана (сплошного однородного цилиндра) относительно его продольной центральной оси, ; – его угловая скорость, ;

– груза 4, совершающего поступательное движение,

,

где – скорость груза, .

Теперь подставим все полученные выражения для кинетических энергий тел 1-4 и исходные данные в формулу для полной кинетической энергии системы

и найдем

так как обобщенная координата φ в выражение для кинетической энергии не входит.

Далее определим угловое ускорение барабана 2, подставляя полученные значения в уравнение Лагранжа 2-го рода

,

откуда

.

Найдем силу натяжения троса, равную по величине реакции , мысленно разрезав его и изобразив все силы, действующие на груз 1, считая груз материальной точкой (рис. 3.18).

Запишем основное уравнение динамики материальной точки в векторной форме

,

и в проекции на ось Ох

.

 

Подставляя исходные данные, вычислим

 

4. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ