Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Для определения ускорения груза 1 выберем в качестве обобщенной координаты его линейное перемещение. Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода для выбранной обобщенной координаты х и соответственно для обобщенной скорости

.

Механическая система изображена в смещенном положении с учетом положительного направления обобщенной координаты х (см. рис. 3.15). Положительное элементарное приращение обобщенной координаты , поэтому величины будут элементарными приращениями соответствующих координат. На схеме показаны активные силы тяжести грузов 1, 4 и шкивов 2, 3, сила трения груза 1 о наклонную плоскость, а также моменты , приложенные к шкивам 2, 3. Вычислим сумму работ всех перечисленных сил и моментов, кроме сил , на элементарных приращениях соответствующих координат с учетом того, что связь между этими приращениями такая же, как и между соответствующими скоростями

,

где

Поскольку , то работы сил также равны нулю, т.е. .

Подставляя исходные данные, вычислим сумму работ

откуда найдем обобщенную силу, соответствующую выбранной обобщенной координате х,

.

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий тел 1-4, входящих в эту систему,

.

Для ее нахождения нужно выразить линейные и угловые скорости точек и тел системы через обобщенную скорость , а затем определить все составляющие:

– груза 1, совершающего поступательное движение,

;

– шкива 2, совершающего вращательное движение,

,

где – момент инерции шкива относительно его продольной центральной оси, ; – его угловая скорость, ;

– шкива 3, совершающего вращательное движение,

,

где – момент инерции шкива относительно его продольной центральной оси, ; – его угловая скорость, ;

– груза 4, совершающего поступательное движение,

,

где – скорость груза, .

Теперь подставим все полученные выражения для кинетических энергий тел 1-4 и исходные данные в формулу для полной кинетической энергии системы

откуда найдем

так как обобщенная координата х в формулу для кинетической энергии не входит.

Подставляя полученные значения в уравнение Лагранжа 2-го рода

,

далее определим линейное ускорение груза 1

.

Найдем силу натяжения троса, равную по величине реакции , мысленно разрезав его и изобразив все силы, действующие на груз 1, считая груз материальной точкой (рис. 3.16).

Запишем основное уравнение динамики материальной точки в векторной форме

,

и в проекции на ось Ох

.

С учетом того, что , получим

,

откуда, подставляя исходные данные, найдем

.

Пример 11. Механическая система состоит из грузов 1, 4 и барабанов 2, 3, связанных между собой (рис. 3.17). К барабану 2 весом Н, радиусами , и радиусом инерции приложена пара сил, момент которой . Этот момент приводит систему в движение. К барабану 3 весом Н радиусом приложена пара сил сопротивления, момент которой . Груз 1 весом Н опускается вертикально вниз. Груз 4 весом Н поднимается по шероховатой наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. Коэффициент трения груза 4 о наклонную плоскость . Все тела, входящие в систему, являются абсолютно твердыми, а тросы (идеальные нити), которыми они соединены между собой, нерастяжимыми и невесомыми. Барабан 3 – сплошной однородный цилиндр.

Определить угловое ускорение барабана 2 и силу натяжения троса, соединяющего тела 1-2 в зависимости от параметра .