Дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости

 

В потоке идеальной жидкости расположим декартовы оси координат произвольным образом. Так же, как и при рассмотрении равновесия покоящейся жидкости (см. п. 3.3), выделим в первом квадранте элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными соответствующим осям координат (рис. 5.1). Предположим, что жидкость в нем затвердела. Тогда на грани параллелепипеда действуют силы давления dF_1…6 от окружающей жидкости, а в его центре масс (точка О) приложена сила тяжести dG. Параллелепипед движется со скоростью u. Составим уравнение движения данного параллелепипеда, используя принцип Д ' Аламбера. Уравнение движения параллелепипеда, спроектированное на ось Х, имеет вид:

 

, (5.1)

 

где m – масса параллелепипеда: m = ρ dx dy dz; а_Х – проекция ускорения параллелепипеда на ось Х: а_x = du_x/dt.

Проведя рассуждения, аналогичные подразделу 3.3, получим:

 

, а .

 

Равнодействующая массовой силы dG равна:

 

dG_x=ρ dx dy dz j,

 

где j – ускорение, вызванное силой dG.

Тогда проекция dG на ось Х будет иметь вид: dG_х=ρ dx dy dz j_х.

Подставим соответствующие значения проекций сил в уравнение (5.1) и разделим на ρ dx dy dz. В результате получим:

 

 

Проведя аналогичные рассуждения для осей Y и Z, получим дифференциальные уравнения движения жидкости:

(5.2)

 

Система уравнений (5.2) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера движения идеальной жидкости. Эти уравнения справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости. При выводе уравнений (5.2) не накладывались условия стационарности движения, значит они справедливы и для неустановившегося движения.

Для удобства практического использования вместо системы уравнений (5.2) получим одно эквивалентное уравнение. Для этого умножим первое уравнение системы (5.2) на dx=u_x dt, втрое – на dy=u_y dt, третье – на dz=u_z dt и сложим эти уравнения. В результате получим:

 

. (5.3)

 

Трехчлен, находящийся в скобках, является полным дифференциалом давления dp (см. 3.3). Кроме того, u_x dx= d(u²_x/2), u_y dy= d(u²_y/2), u_z dz= d(u²_z/2), а d(u²_x/2)+ d(u²_y/2)+ d(u²_z/2)= d(u²/2). С учетом этого уравнение (5.3) примет вид:

(5.4)

 

Уравнение (5.4) называют дифференциальным уравнением Эйлера движения идеальной жидкости.