Истечение жидкости через малое отверстие при постоянном напоре

Отверстие называется малым, когда его вертикальный размер меньше 0, 1 расчетного напора Н_р (понятие об Н_р приведено ниже ): для круглого отверстия d_о< 0, 1Н_р (рис. 6.1) При таком условии можно считать, что давление и скорость жидкости во всех точках сечения малого отверстия одинаковы. Отверстие может быть выполнено в виде сверления в тонкой стенке (δ < 0, 67 Н_р) без обработки входной кромки или в толстой стенке, но с заостренными краями кромки с внешней стороны (рис. 6.2). Условия истечения жидкости в этих случаях будут одинаковы. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего объема, двигаясь ускоренно по плавным траекториям. Например, частицы жидкости, двигающиеся у вертикальной стенки к отверстию, должны повернуть на угол 90⁰ при выходе наружу. Поскольку частицы жидкости обладают массой и, соответственно, свойством инерционности, то они огибают входную кромку по некоторой кривой. Поэтому, на расстоянии l=(0, 5…1, 0)d_o образуется так называемое сжатие струи, т.е. площадь сечения струи S_с меньше площади отверстия S_o. Степень сжатия струи оценивается коэффициентом сжатия струи ε _о:

(6.1)

 

При истечении жидкости необходимо знать скорость и расход. Для этого составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, приняв за плоскость сравнения горизонтальную плоскость, проходящую через ось отверстия:

(6.2)

 

где ζ _о – коэффициент сопротивления малого отверстия. Обозначим α ₂=α, u₂=u, а р₂=р_вых (р_вых – давление на выходе из малого отверстия). Введем расчетный напор Н_р:

 

Тогда из уравнения (6.2) получим:

 

(6.3)

 

Окончательно, из уравнения (6.3) найдем скорость истечения струи:

 

(6.4)

 

где φ _о – коэффициент скорости малого отверстия:

 

(6.5)

 

Для гипотетического случая истечения идеальной жидкости ζ _о=0, а α =1. Тогда φ _о=1, а скорость истечения идеальной жидкости будет равна:

 

(6.6)

 

Формула (6.6) совпадает с формулой для расчета свободного падения тела в пустоте и называется формулой Торричелли. Анализ формул (6.4) и (6.6) показывает, что коэффициент скорости φ _о – это отношение скорости истечения вязкой жидкости к скорости истечения идеальной жидкости:

 

(6.7)

 

Коэффициент скорости φ _о всегда меньше единицы, поскольку скорость истечения идеальной жидкости u_и больше скорости истечения вязкой жидкости u из-за наличия гидравлического сопротивления: всегда ζ _о> 0.

Поле скоростей в сечении струи является равномерным только в ядре струи, наружный слой жидкости имеет несколько меньшую скорость из-за трения об острую входную кромку малого отверстия. Скорость в ядре струи, как показывают опыты, практически равна идеальной u_и. Поэтому коэффициент φ _о является коэффициентом средней скорости.

Расход жидкости Q при истечении подсчитывают как произведение скорости струи на площадь ее сечения:

 

(6.8)

 

Произведение коэффициентов ε _о и φ _о называется коэффициентом расхода µ_о:

 

(6.9)

 

Тогда формулу (6.8) для расчета расхода Q можно записать в следующем виде:

(6.10)

 

Коэффициенты сжатия струи ε _о, сопротивления ζ _о, скорости φ _о и расхода µ_о зависят от числа Рейнольдса Re. Поскольку для расчета Re необходимо знать скорость истечения u, а для определения скорости u необходим коэффициент скорости φ _о, то принято использовать в расчетах число Рейнольдса, подсчитанное для идеальной скорости u_и:

 

(6.11)

 

Графические зависимости, составленные А.Д. Альтшулем на основе опытов различных авторов, приведены на рис. 6.3.