Лекция №15

 

Физические уравнения. Матрица внутренней жесткости системы

 

Установим связь между усилиями и деформациями системы. Для n -го элемента системы эту связь на основании закона Гука можно представить в виде

 

S_n = k_ne_n, (2.14)

 

где S_n и e_n - векторы усилий и деформаций в элементе, k_n – матрица жесткости элемента.

Покажем, как получаются матрицы жесткости типовых стержневых элементов на плоскости.

 

а) Шарнирно-стержневой элемент c шарнирами по концам (рис. 2.10, а).

В соответствии с законом Гука для осевого растяжения-сжатия удлинение элемента связано с осевой силой формулой

или , следовательно

. (2.15)

 

 

 

б) Комбинированный балочный элемент с заделкой и шарниром по концам (рис. 2.10, б).

Изгибающий момент S_i в опорном сечении при повороте его на угол e_i равен , следовательно

. (2.16)

в) Балочный элемент с двумя заделками по концам (рис. 2.10, в).

Опорные моменты S_i и S_j при повороте сечения i на e_i и сечения j на e_j можно получить суммированием эпюр моментов, полученных при повороте сначала узла i на угол e_i, затем узла j на угол e_j:

Тогда составляющие формулы (2.14) будут:

- вектор усилий элемента n (опорные моменты),

- вектор деформаций элемента n (углы поворота опорных сечений),

- 2.17)

 

матрица жесткости элемента n.

Для всех элементов системы, содержащей m искомых внутренних усилий, связь между усилиями и деформациями запишем в виде

, (2.18)

где - вектор усилий в системе,

- вектор деформаций системы.

k = матрица жесткости всех элементов системы.

При последовательной нумерации концевых сечений каждого элемента матрица k является квазидиагональной, на главной диагонали ее располагаются матрицы жесткости отдельных стержней, остальные элементы – нулевые.

 

(2.19)

Матрица k – квадратная, симметричная относительно главной диагонали, порядок ее равен m – числу искомых усилий, э – количество элементов, составляющих систему.

 

Разрешающая система уравнений матричного метода перемещений. Последовательность расчета ММП

Запишем еще раз три группы уравнений, отражающих три стороны задачи расчета упругих систем: статическую, геометрическую и физическую, рассмотренные выше:

1. Уравнения равновесия

 

. (2.20)

2. Уравнения неразрывности деформаций

 

. (2.21)

3. Обобщенный закон Гука для всей системы

 

. (2.22)

 

Если, как указывалось в п. 1.4, матрица А квадратная, и , то заданная система статически определима, из уравнения (2.20) можно найти внутренние усилия

,

после чего решение задачи можно завершить.

Если матрица А прямоугольная, то при n > m система статически неопределима, и кроме уравнений равновесия (2.20) необходимо рассмотреть геометрические (2.21) и физические (2.22) уравнения. В системе (2.20) – (2.22) неизвестными являются векторы усилий S, деформаций e, перемещений Z. Для проверки прочности и жесткости необходимо и достаточно знать усилия и перемещения, поэтому вектор е исключим, подставив (2.21) в (2.22):

. (2.23)

Формула (2.23) позволяет найти усилия S по известным перемещениям Z. Подставляя (2.23) в (2.20), получим

, (2.24)

где K = AkA^T - называется матрицей жесткости всей конструкции. Она устанавливает связь между внешними узловыми силами и перемещениями узлов. Матрица K квадратная, симметричная, имеет порядок m, где m – число возможных перемещений узлов. Решение уравнения (2.24) дает

 

, (2.25)

где K^-1 – обратная матрица, всегда существующая для геометрически неизменяемых систем. Решение (2.25) имеет формальный смысл, т.к. получение обратной матрицы довольно трудоемкая процедура. Поэтому на практике и во всех вычислительных комплексах вектор Z получают непосредственным решением системы разрешающих уравнений (2.24). После определения вектора Z усилия определяются по формуле (2.23).

В методе перемещений необходимой и достаточной проверкой правильности решения является статическая проверка, т.е. проверка равновесия узлов системы. Матричный аналог статической проверки – уравнения равновесия AS = P, т.е. полученный вектор S надо умножить слева на статическую матрицу А и сравнить результат с вектором узловых сил P.

При расчете на внеузловую нагрузку к расчетным усилиям надо добавить усилия от внеузловой нагрузки S_o:

, (2.26)

Матричное уравнение (2.24) KZ = P эквивалентно системе канонических уравнений метода перемещений: каждый элемент k_ij матрицы жесткости K равен коэффициенту r_ij, представляющему реактивное усилие в связи по направлению перемещения Z_i от перемещения Z_j = 1.

Сравним формулу (1.26) с разрешающей формулой классического метода перемещений в рамах:

. (2.27)