Лекция№10
Канонические уравнения метода перемещений для раз кинематически неопределимых систем при расчете на тепловое воздействие отличаются от системы уравнений (6.3) только свободными членами и записываются в виде (1.7) Физический смысл любого -го уравнения системы (1.7) заключается в отсутствии (равенстве нулю) суммарной реакции в дополнительной связи от действия на основную систему неизвестных и тепловой нагрузки, так как в заданной системе этой дополнительной связи нет. Основная система метода перемещений здесь, естественно, остается той же, что и при расчете на силовое воздействие. Как и ранее, будем предполагать, что температура постоянна по длине каждого стержня, а по толщине нагреваемого элемента - изменяется по линейному закону. В этом случае температура по оси стержня (равномерный нагрев) определяется как , а разность (перепад) температур (неравномерный нагрев) – как . Чтобы вычислить свободные члены , необходимо построить в статически неопределимой основной системе метода перемещений грузовую эпюру моментов от теплового воздействия. Эта эпюра будет состоять из суммы двух эпюр моментов: эпюры от неравномерного нагрева стержней и эпюры от равномерного нагрева стержней, т.е. (1.8) Эпюра весьма просто строится в основной системе при помощи п. 9 и 18 табл. 1.1. Построение эпюры несколько сложнее. Для этого надо знать взаимные перемещения концов каждого стержня по перпендикулярному к его оси направлению. В результате равномерного нагрева стержни основной системы удлинятся или укоротятся, а ее узлы, не поворачиваясь, получат поступательные перемещения и займут новое положение, вследствие чего стержни системы искривятся и в них возникнут изгибающие моменты. Удлинение или укорочение -го стержня основной системы определяется по известной из школьного курса физики формуле: (1.9) где – коэффициент линейного расширения материала; – длина нагреваемого стержня. Из приведенных выше рассуждений следует, что для построения эпюры нужно сначала на отдельном рисунке показать новое положение узлов основной системы с величинами их смещений и изобразить деформации искривленных стержней. После этого в новой схеме основной системы переносим на деформированные стержни эпюры моментов с п. 2 и 13 табл. 1.1, ординаты которых надо умножить на соответствующие значения Так, для балки, защемленной на одном конце и шарнирно опертой на другом, эпюра моментов представляет собой треугольник с ординатой в защемлении, равной (1.10) а для балки, защемленной с двух концов, эпюра моментов будет представлять собой равнобокую перекрученную трапецию с моментами по концам, равными (1.11) Напомним, что – взаимное перемещение концов каждого стержня в основной системе по направлению, перпендикулярному к оси стержня. Полученная таким образом эпюра моментов и есть эпюра Окончательная грузовая эпюра в основной системе строится по формуле (1.8). Заметим, что свободные члены можно вычислить не только по единой эпюре , но и отдельно с помощью эпюр и по следующей формуле: (1.12) где – реакция во введенной связи от неравномерного нагрева, а – реакция в той же связи от равномерного нагрева. После вычисления всех коэффициентов, решения системы канонических уравнений и нахождения неизвестных окончательная эпюра изгибающих моментов для заданной системы строится по формуле (1.13) Наряду с обычными проверками окончательной эпюры моментов, полученной в результате расчета заданной системы методом перемещений на тепловое воздействие (равенство нулю реакций во введенных связях), возможна проверка перемножением окончательной эпюры с любой единичной или суммарной единичной эпюрой , построенными в основной системе метода перемещений: (1.14) Равенства (6.17) следуют из теоремы Бетти о взаимности работ. Последовательность расчета систем при тепловом воздействии сохраняется такой же, как и при силовом воздействии. Если в задачах (примерах) толщина нагреваемых элементов не указана, то ее следует принимать для всех элементов равной м.
|