Лекция №14

 

Уравнения неразрывности. Матрица деформаций

 

Установим связь между деформациями элементов e_i и перемещениями узлов системы Z_j, или запишем уравнения неразрывности деформаций. Для этого определим деформации e_i в каждом стержне от действия каждого узлового перемещения Z_k, считая все остальные перемещения равными нулю.

Для фермы, показанной на рис. 2.1, зададим сначала перемещение Z₁, затем Z₂ и определим деформации стержней на рис.2.9.

 

 

В соответствии с рис. 2.9, а найдем деформации, вызванные перемещениями Z₁:

e₁₁ = Z₁cosa, e₂₁ = Z₁cosa, e₃₁ = -Z₁,

остальные перемещения е₄₁ = е₅₁ = 0, т.к. узел С не имеет перемещений.

В соответствии с рис 2.9, б найдем деформации, вызванные перемещениями Z₂:

e₁₂ = Z₂sina, e₂₂ = - Z₂sina,

остальные перемещения е₃₂ = е₄₂ = е₅₂ = 0. Точно так же, задавая перемещения Z₃ и Z₄, найдем деформации всех стержней. Просуммировав деформации, вызванные перемещениями Z₁ – Z₄ для каждого стержня, получим

(2.7)

Перепишем систему уравнений (2.7) в матричном виде

 

e = BZ, (2.8)

 

где e = [ e₁ e₂ e₃ e₄ e₅ ] ^T – вектор деформаций элементов, Z = [ Z₁ Z₂ Z₃ Z₄ ] ^T – вектор перемещений узлов.

Здесь матрица В – матрица деформаций, выражающая деформации e_i элементов стержневой системы через перемещения Z_k ее узлов. Ее размер m ´ n, где m – число строк, равное числу деформаций e_i и равное числу неизвестных усилий S_i, n – число столбцов, равное числу возможных узловых перемещений Z_k.

P S
	cosa	sina
	cosa	-sina
	-1
			-cosa	sina
			-cosa	-sina

 

(2.9)

 

 

B =

 

 

Аналогично строится матрица деформаций для рамных систем, подробнее об этом можно прочитать в [14] и в [5].