Лекция №14
Уравнения неразрывности. Матрица деформаций
Установим связь между деформациями элементов ei и перемещениями узлов системы Zj, или запишем уравнения неразрывности деформаций. Для этого определим деформации ei в каждом стержне от действия каждого узлового перемещения Zk, считая все остальные перемещения равными нулю. Для фермы, показанной на рис. 2.1, зададим сначала перемещение Z1, затем Z2 и определим деформации стержней на рис.2.9.
В соответствии с рис. 2.9, а найдем деформации, вызванные перемещениями Z1: e11 = Z1cosa, e21 = Z1cosa, e31 = -Z1, остальные перемещения е41 = е51 = 0, т.к. узел С не имеет перемещений. В соответствии с рис 2.9, б найдем деформации, вызванные перемещениями Z2: e12 = Z2sina, e22 = - Z2sina, остальные перемещения е32 = е42 = е52 = 0. Точно так же, задавая перемещения Z3 и Z4, найдем деформации всех стержней. Просуммировав деформации, вызванные перемещениями Z1 – Z4 для каждого стержня, получим
Перепишем систему уравнений (2.7) в матричном виде
e = BZ, (2.8)
где Здесь матрица В – матрица деформаций, выражающая деформации ei элементов стержневой системы через перемещения Zk ее узлов. Ее размер m ´ n, где m – число строк, равное числу деформаций ei и равное числу неизвестных усилий Si, n – число столбцов, равное числу возможных узловых перемещений Zk.
(2.9)
B =
Аналогично строится матрица деформаций для рамных систем, подробнее об этом можно прочитать в [14] и в [5].
|
(2.7)
e = [ e1 e2 e3 e4 e5 ] T – вектор деформаций элементов, Z = [ Z1 Z2 Z3 Z4 ] T – вектор перемещений узлов.
