Лекция№13

 

Приведение нагрузки к эквивалентной узловой

 

Покажем, как приводится внеузловая нагрузка к узловой на примере, изображенном на рис.2.2. Для этого сначала построим грузовую эпюру метода перемещений, считая все узлы рамы закрепленными от поворотов и линейных смещений. На рис.2.4, а представлена грузовая эпюра метода перемещений М_р вместе с реакциями, действующими на концы каждого из стержней. Очевидно, что в соответствии с 3-м законом Ньютона на узлы рамы передаются такие же реакции, но противоположного направления.

Суммарный момент в жестком узле Р₁ = 24 – 5 – 30 = - 11 кН× м, суммарная сила в направлении Z₂, соответственно Р₂ = 2 + 5 = 7 кН. Сформируем вектор внешних сил Р = [ - 11 7 ] ^T. Заметим, что вертикальные реакции от равномерно распределенной нагрузки не дают составляющих в этот вектор. Здесь же сформируем вектор грузовой эпюры S₀, который затем будет добавлен к расчетным моментам от узловой нагрузки S₀ = [- 5 5 - 24 0] ^T. Порядок составления вектора: на расчетной схеме усилие S₁ – момент внизу левой стойки, положительный момент в соответствии с рис. 2.3 растягивает правые волокна, а у нас на рис. 2.4, а момент 5 кН× м растягивает левые волокна, следовательно, S₀₁ = - 5 и т.д.

При расчете на тепловое воздействие или осадки опор точно так же строятся грузовые эпюры в основной системе метода перемещений, и соответственно находится эквивалентная узловая нагрузка.

 

Уравнения равновесия. Статическая матрица

 

Установим связь между внешними узловыми силами Р_i и внутренними усилиями S_j путем составления уравнений равновесия узлов по направлению возможных перемещений Z_i или то же самое внешних сил P_i. Составим уравнения равновесия для узлов схемы, показанной на рис. 2.1 (рис. 2.5).

Из рис.2.1 следует:

sina = 0, 8; cosa = 0, 6.

Проектируя все силы, действующие в узлах, показанных на рис.2.5, на горизонталь и вертикаль, получаем следующие уравнения:

 

(2.1)

 

Перепишем систему уравнений (1.1) в матричном виде

P = AS, (2.2)

где P = [ P₁ P₂ P₃ P₄ ] ^T – вектор внешних сил,

 

S = [ S₁ S₂ S₃ S ₄ S₅ ] ^T – вектор внутренних усилий.

 

A =	S P	S1	S2	S3	S4	S5
P1	cosa	cosa	-1
P2	sina	-sina				(2.3)
	P3				-cosa	-cosa
	Р4				sina	-sina

Матрица коэффициентов уравнений статического равновесия, выражающая внешние узловые силы через внутренние усилия, называется статической матрицей А. Каждая i -я строка этой матрицы представляет собой коэффициенты, на которые нужно умножить вектор внутренних усилий S = [ S₁ S₂ S₃ S₄ S₅ ] ^T, чтобы получить внешнюю силу P_i. В незаполненных клетках матрицы А нули.

Составим статическую матрицу для рамы, приведенной на рис.2.2. Рассмотрим равновесие жесткого узла и верхней части рамы под действием внешних и внутренних сил (рис.2.6).

 

Направление внешних сил Р₁ и Р₂ соответствует направлению, выбранному в расчетной схеме, рис.2.2, б. Направление внутренних сил получено в соответствии с правилом знаков, представленном на рис. 2.3. Напомним, что положительные моменты вращают стержни по часовой стрелке, следовательно, в соответствии с 3-м законом Ньютона моменты S₂ и S₃ вращают узел против часовой стрелки. Поперечные силы в стержнях в соответствии с тем же правилом всегда отрицательны, поэтому узлы рамы они должны вращать против часовой стрелки. Уравнения равновесия жесткого узла и верхней части рамы выглядят так:

(2.4)

Система (1.4) в матричной форме имеет вид (1.2), т.е. P = AS, где P = [ P₁ P₂ ] ^T, S = [ S₁ S₂ S₃ S₄ ] ^T,

 

A =

-1/4 -1/4   -1/4

(2.5)

 

Кинематический анализ конструкций с помощью матрицы А

 

Статическая матрица А имеет размер m ´ n, где m – число строк, равное числу возможных перемещений узлов, n – число столбцов, равное числу внутренних усилий.

1. При m > n система изменяема, причем число степеней свободы W = m – n.

2. При m = n система неизменяема и статически определима, если ее определитель При система мгновенно изменяема.

3. При m < n система неизменяема и статически неопределима, если ранг матрицы равен числу строк. Число лишних связей л = n – m.

Как видно из (2.3), статическая матрица А имеет размер 4´ 5, следовательно m = 4, n = 5, m < n, система статически неопределима и имеет одну лишнюю связь, л = n – m = 5 – 4 = 1. Действительно, сняв любой стержень фермы (рис. 2.1), получаем статически определимую систему. Матрица в (2.5) имеет размер 2´ 4, система также статически неопределима, число лишних связей л = 4 – 2 = 2.

Как видно из п. 2, в статически определимых системах при m = n матрица А квадратная, поэтому, очевидно, возможно формальное решение матричного уравнения (2.2). Если умножить его слева на обратную матрицу А ^-1, то

 

S = A^-1P. (2.6)

 

Таким образом, подтверждается возможность и в матричном виде находить все внутренние усилия системы из уравнений статики, что хорошо известно из классической строительной механики. Специальных примеров по расчету статически определимых систем мы давать не будем, т.к. эти системы могут быть рассчитаны по единому алгоритму ММП, а в дальнейшем и МКЭ.

Рассмотрим два примера на кинематический анализ с помощью статической матрицы А.