Начальные и центральные моменты вариационного ряда
Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия – моментов вариационного ряда. 1. Начальный моментов k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле
Очевидно, что 2. Центральный момент k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле
Очевидно, что центральный момент второго порядка является дисперсией вариационного ряда. 3. Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число
Если 4. Коэффициентом эксцесса вариационного ряда называется число
Эксцесс является показателем «крутости» вариационного ряда. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю. Если Примеры 75. По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 найти числовые характеристики выборки. Решение. 1) Среднее арифметическое значение
2) Выборочная дисперсия S2 = = 1/7(16+36+49+49+100+225+324)–91, 5849=799/7–91, 5849 = 22, 56. 3) Выборочное среднее квадратическое отклонение
4) Мода 5) Медиана 6) Коэффициент вариации 76. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
Решение. 1) Среднее арифметическое 2) Выборочная дисперсия S2 = 3) Среднее квадратическое отклонение 4) Мода 5) Медиана = 6) Коэффициент вариации 77. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
Решение. 1) Среднее арифметическое
2) Дисперсия S2 = – (5, 97)2 = 45, 63–35, 6409 = 9, 9891. 3) Среднее квадратическое отклонение 4) Мода Мо = 10. 5) Медиана 6) Коэффициент вариации 78. При обследовании надоя коров случайным образом отобрали 307 коров, данные по ним сгруппировали и составили таблицу
Найти выборочное среднее, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану. Решение. Составим таблицу числа наблюдения значений, приняв в качестве xi середины интервалов
n = 43+71+102+64+27 = 307. 1) 2) S 2 = 1/307(32002· 43+36002· 71+40002· 102+44002· 64+48002· 27)–(3949, 2)2 = 213591, 3469. 3) 4) Мо = 4000 (интервал 3800-4200). 5) 79. При взвешивании груза получены следующие данные 129, 125, 130, 122, 135, 125, 120, 130, 127. Определить среднее значение веса груза, среднюю ошибку взвешивания. Решение. Составим статистическое распределение веса груза
Так как первоначальные варианты х – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам
1) Найдем выборочную среднюю по формуле
2) Вычислим выборочную дисперсию. На основании свойства 3 дисперсии получаем
3) Выборочное среднее квадратическое отклонение Итак, средний вес груза равен 127 кг, средняя ошибка взвешивания – 4, 32 кг. 80. Найти числовые характеристики выборки, заданной таблицей
Решение. 1) Перейдем к условным вариантам Таблица примет вид
Согласно свойству 2 средней арифметической, получим
2) По свойству 2 дисперсии получим
3) Среднее квадратическое отклонение 4) 5) 81. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения рабочих цеха по тарифному разряду.
Решение.
Тогда,
=
=
|
.
, т.е. средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка.
.
.
, то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные от х имеют одинаковую частоту. При 
(
) говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) асимметрии.
.
(
), то полигон вариационного ряда имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой
= 1/7(4+6+7+7+10+15+18)=67/7=9, 57.
–(
)2 = 1/7(42+62+72+72+102+152+182)–(9, 57)2 =
.
(т.к. значение 
встречается в выборке чаще остальных значений, а именно 2 раза).
.
.
.
.
.
.
.
; 
= (12· 0, 15+42· 0, 28+62· 0, 25+102· 0, 32) –
.
.
.
.
. Возьмем 
, тогда 
. В итоге получим распределение условных вариантов
;
;
= 1/9((–5)2· 1+(–3)2· 1+02· 2+22· 1+42· 1+52· 2+102· 1)–22 = 22, (6)–4 = 18, (6).
.
, где 
, т.е. 
.
; 
.
.
.
= 2+3+6+8+22+9 = 50;
(1· 2+2· 3+3· 6+4· 8+5· 22+6· 9) = 
(1· 2+4· 3+9· 6+16· 8+25· 22+36· 9)–(4, 44)2 = 
.
=
= 
=-0, 961.
= 
=3, 277 -3=0, 277.
