Теоретические сведения. Логарифмом положительного числа по основанию (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести

Логарифмом положительного числа по основанию (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить число .

Логарифм числа по основанию обозначается символом .

Если , то по определению есть показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число . Поэтому равенство есть тождество, которое называют основным логарифмическим тождеством.

Например, , .

Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная запись: вместо , где – произвольное положительное число, пишут .

Свойства логарифмов:

1. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т.е. (где ) существует, если .

2. При основании логарифмы чисел положительны, а логарифмы чисел отрицательны.

3. При основании логарифмы чисел отрицательны, а логарифмы чисел положительны.

4. Равным положительным числам соответствуют и равные логарифмы, т.е. если , то .

5. Если , то большему числу соответствует и больший логарифм, т.е. если , то .

6. Если , то большему числу соответствует меньший логарифм, т.е. если , то .

7. Логарифм единицы по любому основанию () равен нулю, т.е. .

8. Логарифм самого основания равен 1, т.е. .

Пример 1. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Нам известно, что логарифмом числа по основанию (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить число .

Таким образом, есть показатель степени. Обозначим этот показатель степени через . Тогда , или .

Решим уравнение т.е. .

Таким образом, .

2) Пусть , тогда .

Чтобы решить полученное уравнение, необходимо упростить основания степеней, т.е. привести их к одному основанию:

,

.

Таким образом, наше уравнение примет вид . Так как , то , .

Таким образом, .

Для решения остальных примеров используем основное логарифмическое тождество.

3) .

4) .