Задача 6. 1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВÈС ) = (А\В) Ç (А\С)

1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(В È С) = (А\В) Ç (А\С).

2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.

Решение.

1) Обозначим: М = А\(В È С), К = (А\В) Ç (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:

а) М Ì К, т.е. для любого х, если х Î М, то х Î К;

б) К Ì М, т.е. для любого х, если х Î К, то х Î М.

в) Пусть любое х Î А\(В È С). По определению разности двух множеств х Î А и х Ï (В È С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В È С. Поэтому из того, что х Ï В È С, следует, что х Ï В и х Ï С. Так как х Î А и х Ï В, то х Î А\В. Так как х Î А и х Ï С, то х Î А\С. По определению пересечения множеств, х Î (А\В) Ç (А\С).

г) Пусть любое х Î (А\В) Ç (А \С). По определению пересечения множеств, х Î А\В и х Î А\С. По определению разности множеств х Î А, x Ï В, x Ï С. Тогда х Ï В È С. А так как х Î А и х Ï В È С, то x Î А \ (В È С).

Вывод: М Ì К и К Ì М, тогда М = К.

2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.

 

Наклонной штриховкой обозначено множество В È С. Двойной штриховкой обозначено тожество М =А\(В È С)
Вертикальной штрихов­кой обозначено А\В, горизон­тальной А\С. Двойной штри­ховкой обозначено множество К = (А\В) Ç (А\С)

Контрольные вопросы

1. Как записать, что элемент а принадлежит множеству А? Не при­надлежит множеству А?

2. Какими способами можно задать множество? Привести примеры. Задать различными способами множество всех натуральных чи­сел, меньших 10.

3. Прочтите следующие предложения: а Î А, а Ï А, А Ì В, А Ë В.

4. Как проверить, что одно множество является подмножеством другого? Верно ли, что А подмножество В, где А = { а/а Î Z, а 12}, В = { b/b Î Z, b 4}?

5. Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Объяс­ните, почему Æ ¹ {Æ }?

6. Какое подмножество называют собственным?
Привести примеры.

7. Сформулировать определение объединения, пересечения и разности двух множеств. Привести примеры. Дать геометрическое истолкование на диаграммах Эйлера-Венна.

8. Дать понятие универсального множества. Сформулировать определение дополнения множества. Во множестве всех действительных чисел назвать дополнение множества рациональных чисел, множества целых чисел.

9. Сформулировать следующие свойства операций над множествами: коммутативность объединения и пересечения; ассоциативность объединения и пересечения; дистрибутивные свойства операций объединения и пересечения; свойства дополнений.

10. Во множестве всех целых чисел назовите дополнение:

а) множества четных чисел,

б) множества нечетных чисел.