Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача 6. 1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВÈС ) = (А\В) Ç (А\С)




1) Доказать, что для любых множеств А, В, С верно равенство А\(ВÈС ) = (А\В) Ç (А\С).

2) Проиллюстрировать это равенство геометрически.

Решение.

1) Обозначим: М = А\(В È С), К = (А\В) Ç (А\С). Для доказательства равенства М = К достаточно доказать утверждения:

а) М Ì К, т.е. для любого х, если х Î М, то х Î К;

б) К Ì М , т.е. для любого х, если х Î К, то х Î М.

в) Пусть любое х Î А\(В È С). По определению разности двух множеств х Î А и х ÏÈ С). Если бы х принадлежал хотя бы одному и множеств В и С, то, по определению объединения, х принадлежал бы В È С. Поэтому из того, что х Ï В È С, следует, что х Ï В и х Ï С. Так как х Î А и х Ï В, то х Î А\В. Так как х Î А и х Ï С, то х Î А\С. По определению пересечения множеств, х Î (А\В) Ç (А\С).

г) Пусть любое х Î (А\В) Ç (А). По определению пересечения множеств, х Î А\В и х Î А\С. По определению разности множеств х Î А, xÏВ, xÏС. Тогда х Ï В È С. А так как х Î А и х Ï В È С, то x Î А\È С) .

Вывод: М Ì К и К Ì М, тогда М = К.

2) Изобразим множества А, В и С. Сделаем два одинаковых рисунка, на одном выделим множество М, на другом множество К.

 

Наклонной штриховкой обозначено множество В È С. Двойной штриховкой обозначено тожество М =А\(В È С)  
Вертикальной штрихов­кой обозначено А\В, горизон­тальной А\С. Двойной штри­ховкой обозначено множество К = (А\В) Ç (А\С)

Контрольные вопросы

1. Как записать, что элемент а принадлежит множеству А ? Не при­надлежит множеству А?

2. Какими способами можно задать множество? Привести примеры. Задать различными способами множество всех натуральных чи­сел, меньших 10.

3. Прочтите следующие предложения: а Î А ,а Ï А, А Ì В, А Ë В.

4. Как проверить, что одно множество является подмножеством другого? Верно ли, что А подмножество В, где А = {а/а Î Z, а 12}, В = { b/b Î Z, b 4}?

5. Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Объяс­ните, почему Æ ¹ {Æ}?

6. Какое подмножество называют собственным?
Привести примеры.

7. Сформулировать определение объединения, пересечения и разности двух множеств. Привести примеры. Дать геометрическое истолкование на диаграммах Эйлера-Венна.

8. Дать понятие универсального множества. Сформулировать определение дополнения множества. Во множестве всех действительных чисел назвать дополнение множества рациональных чисел, множества целых чисел.

9. Сформулировать следующие свойства операций над множествами: коммутативность объединения и пересечения; ассоциативность объединения и пересечения; дистрибутивные свойства операций объединения и пересечения; свойства дополнений.

10. Во множестве всех целых чисел назовите дополнение:

а) множества четных чисел,

б) множества нечетных чисел.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1706. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия