УПРАЖНЕНИЯ1. Даны числа 19; а) целых чисел; б) целых неотрицательных чисел; в) рациональных чисел; г) действительных чисел? 2. Покажите на координатной прямой множество точек, координаты которых: а) меньше 4; б) больше 4; в) не больше 4; г) не меньше 4. 3. Изобразите на координатной прямой множество Х, если: а) Х = {х/х ÎR и – 2 ≤ х < 7}; б) Х {х/х ÎR и – 2 ≤ х ≤ 7}; в) Х ={х/х ÎR и х < 7}; г) Х = {х/х ÎR и х ≥ – 2}. 4. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов: а) (3;8); б) (– ¥;7]; в) (– ¥; -3]; г) [– 5,2; 0]; д)[– 8; +¥);
ж) [0; 7,8); з) (–4; 8]. 5. Задайте двумя способами множества точек координатной прямой (рис. 6) а)
6 б)
3,2 7
в)
– 3,7
г) – 4 2,4 д)
– 8,2 – 4,3 е)
18 ж)
21 з)
– 3 0
Рис. 6
6. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные: а) 3Î(3;12]; б) – 0,2 Î[– 0,3; 0]; в) 0Î(– ¥; 0]; г) 5Î(6; +¥); д) 75ÎQ; е) 6,4ÎZ; ж) – 7ÎN; з) – 0,3ÎZ. 7. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние каждой из которых от точки А: а) равно 2; б) не больше 2; в) больше 2. 8. Отметьте на координатной прямой точку В(2) и укажите характеристическое свойство множества точек, изображенных на рис. 7
Рис. 7 9. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой: а) |х| = 3; б) |7 – а| = 4; в) |х – 4| = 3; г) |р| = – 2; д) |х| + 1 = 4; е) 7 + |у| = 1. 10. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства: а) |х| ≤ 3; б) |х| > 4; в) |х + 3| ≤ 1; г) |х – 4| ≥ 2. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания из задач 11 – 20: 11. а) некоторые натуральные четные числа кратны 11; 12. а) ни один параллелограмм не является трапецией; 13. а) каждое из чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, делится на 5; б) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 3, не делится на 6. 14. а) все квадраты являются четырехугольниками; б) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными. 15. а) все мальчики 5 «а» класса участвовали в туристическом походе; б) ни один мальчик 5 «а» не является неуспевающим учеником. 16. а) все равносторонние треугольники – равнобедренные; б) некоторые ромбы являются прямоугольниками. 17. а) любой квадрат есть ромб; б) некоторые трапеции являются четырехугольниками с прямым углом. 18. а) все девочки в классе сидят за первыми партами; б) некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9. 19. а) ни один мальчик не сидит за первой партой; б) некоторые числа, запись которых оканчивается цифрой 5, делятся на 3; 20. а) все мальчики в классе занимаются в кружке по рисованию; б) некоторые двузначные натуральные числа являются четными. 21. Перечислите элементы следующих множеств, задайте множества с помощью характеристического свойства: а) А – множество натуральных чисел, меньших 7; б) В – множество натуральных чисел, кратных числу 3 и меньших 20; в) С – множество натуральных делителей числа 26; г) Д – множество чисел, абсолютная величина которых равна 5. 22. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из а) А = {х/х Î N, хг= 16}; в) С = {х/х Î Z, |х| < 4}; б) В = {х/х Î N, х2< 9}; г)Д= {х/х Î Z, х< 9}. 23. Изобразите на числовой прямой следующие множества: а) А = {х/х Î R, х<9}; б) В={х/х Î R, х>4}. Изобразить множества с помощью кругов Эйлера. Определить отношения между множествами. 24. А = {х/х Î N ,х 25. А = {х/х Î N, х 26. A = {х/х Î N, х 27. A = {х/х Î R , 5 < х < 10}, B = {х/х Î Z, 5 < х < 28}, С={х/х Î Z, x < 20} 28. A = {х/х Î R , х < 2}, B = {х/хÎ Z, х < 2}, С= {х/х Î Z,- 2 < х < 1}. 29. A = {х/х ÎZ , х 30. А= {х/х Î Z , х 31. А = {х/х Î Z, х 32. А = {х/х Î Z и – 2 < х < 8}, В= {х/х Î Z и – 1,5 < х < 7}, С = {х/х Î R и х < 10}. 33. А = {х/х Î Z и х < 7}, В = {х/х Î Z и – 1 < х < 8}, С = {х/х Î R и х < 10}. 34. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если: а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5; б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество остроугольных треугольников; в) А – множество треугольников с углом 45°, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников; г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°. 35. Установите, в каком отношении находятся множества В и D, если: а) В = [3; 5], D = [4; 6]; б) В = (7; в) В = ( г) В = (–5;–1), D = (–1, 6). 36. В каком случае множества С и D пересекаются: а) С – множество четных однозначных чисел, D – множество нечетных однозначных чисел; б) С – множество четных однозначных чисел, D – множество чисел, кратных 3; в) С – множество прямоугольных треугольников, D – множество равнобедренных треугольников; г) С – множество прямоугольников с равными сторонами, D – множество квадратов? 37. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества Р и Q, если Р – множество равнобедренных треугольников, а Q есть множество: а) остроугольных треугольников; б) прямоугольных треугольников; в) равносторонних треугольников. 38. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножество множества С, состоящее из чисел, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) не делятся на 4; г) делятся на 5. 39. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В Ì А и С Ì В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера. 40. Дано множество М = {к, l, m}. Образуйте все его: а) одноэлементные подмножества; б) двухэлементные подмножества; в) трехэлементные подмножества. Присоедините к полученным подмножествам пустое множество. Сколько всего подмножеств получили? 41. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, D и Е – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, D – из чисел, кратных 3, Е – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, D и Е и укажите среди них равные множества. 42. М – множество натуральных решений неравенства 2 ≤ х < 7, K – множество натуральных решений неравенства 1 < х ≤ 6. Какие из следующих высказываний истинны: а) М Ì К; б) К Ì М; в) М = K? 43. Докажите, что А = В, если: а) А – множество двузначных чисел, кратных 9, В – множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) A – множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, В – множество натуральных чисел, кратных 10. 44. А – множество двузначных чисел; В – множество четных натуральных чисел; С – множество натуральных чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 8, изображены данные множества? Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунке 8.
а) б) в) Рис. 8
45. Найдите пересечение и объединение множества С = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если: а) D = {12, 14, 18, 20, 22, 24}; б) D = {14, 16, 18, 20}; в) D = {3, 4, 5, 6}; г) D = С. 46. Вместо многоточия поставьте «и» либо «или»: а) Элемент х принадлежит объединению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р… множеству Q. б) Элемент х не принадлежит множеству Р È Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q. в) Элемент х принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р ... принадлежит множеству Q. г) Элемент х не принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р ... не принадлежит множеству Q. 47. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых А Ç В ¹ Æ, А È В ¹Æ, А Ç В = В, А È В = В, если: а) А – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию, В – множество мальчиков класса; б) А – множество девочек класса, В – множество отличников класса. 48. Укажите характеристическое свойство элементов множества Х = А Ç В È С, если A = (–3; 0], B =]–2, 2[, С = (0, Верно ли, что: а) 0 Î X; б) –2 Î X; в) 27,3 Î X? 49. Укажите характеристическое свойство элементов множества М = А È В Ç С, если A = ( Принадлежат ли множеству М числа: –3,7; 0; 12? 50. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества С È D Ç Е и СÇ D È Е, и задайте каждое из них описанием характеристического свойства. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж.
51. Р – множество натуральных делителей числа 18, Q – множество натуральных делителей числа 24. Укажите характеристическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элемент 52. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что: а) 21 Î К Ç М; б) 32 Ï К Ç М; в) 32 ÎK ÈМ; г) 7 Î К Ç М; д) 7 Î К È М; е) 135 ÏK È М? 53. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С и укажите характеристическое свойство элементов множества А Ç (В Ç С), если: а) А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников; б) А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников; в) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников; г) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество треугольников. В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество АÇВÇ С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству. 54. Даны множества: А = {а, b, с, d, е}, В = {с, d, f, к), С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К = (А È В)ÇС и Р = A È (В Ç С). Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р? 55. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множеств (А È В) ÇС и (А Ç В) È С. 56. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если: а) В = {c, d, e, f, k, l}; б) В = {a, c, e}; в) B = {c, a, d, e}; г) B = {k, l, m}; д) В = {a, b, c, d, e, f, k}; е) В = Æ. 57. Даны множества: Р – множество остроугольных треугольников, Q – множество равнобедренных треугольников, S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X = (Р Ç Q) \ S и Y = Q' Ç (Р È S). Установите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 13, принадлежат множеству X, а какие – множеству Y. 58. Т – множество многоугольников, имеющих прямой угол, Р – множество квадратов, М – множество треугольников. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = Р È (М \ Т). 59. Известно, что X – множество двузначных чисел, Е – множество четных натуральных чисел, У – множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: а) А = X ÇYÇ Е, б) В = X È Y \ В; в) С = X Ç Y' ÈE. Каковы характеристические свойства элементов множеств A, B и С? 60. А – множество параллелограммов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников с углом в 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = А Ç С È В, и две фигуры, принадлежащие множеству Y = (С \ А) \ В. 61. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств А\ В и В \ А. 62. Р – множество двузначных чисел, Q – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и Q и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли то, что Р \ Q содержит числа 21; 17? В следующих упражнениях изобразить множества А, В, С, Д на кругах Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X. Задать множество Xсловесным способом, при необходимости ввести подходящее универсальное множество И. 63. А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников со стороной 5 см. а) Х = (В\А) È (А ÇС); б) Х=(А ÇВ) и (А\С); в) Х = АÇ(ВÈ С). 64. В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. а) Х = Д È(В\С); б) Х = (Д ÇВ) ÈС. 65. А – множество прямоугольников, В – множество ромбов, С – множество параллелограммов со стороной 3 см: а) Х = А'Ç(В\С); б) Х = (АÇВ)\С; в) Х = (А\С)ÈВ 66. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см: а) Х = (А\ В)Ç С; б) Х=(А\В)\С; в) Х=А' È (В\С). 67. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см: а) Х= (А Ç С) È (В ÇС); б) Х= (А\С) ÇВ'. Найти А È В, АÇ В, А\В, В\А, и А,И= R в следующих упражнениях. 68. Множества X и Y являются подмножествами универсального множества, и X Ç Y¹Æ. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: a) X' Ç Y', б) X' È Y', в) (X È Y)'; г) (X Ç Y)'. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. Есть ли среди этих множеств равные? 69. А – множество однозначных чисел, В – множество нечетных однозначных чисел, С – множество однозначных чисел, кратных 3. Изобразите множества А, В и С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой (для каждого случая сделайте отдельный чертеж) множество: а) В'; б) С'; в) В' Ç С'; г)В'ÇС'; д) (В Ç С)'; е)(ВÈС)'. Каково характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств? Есть ли среди этих множеств равные? 70. А = (–¥, 3); В = (– 3, +¥). 71. А = [0, 5]; В = (–3,2). 72. А = (– 3,7]; В = [5, 6). 73. А = (–¥, 5); В = (0, +¥). 74. А = [0, 5]; В = (–3,0). 75. А = [– 3,7); В = (1, 5]. 76. А = [– 2,7); В = (3, 5]. 77. А = (–¥, 3); В = [3,10). 78. А = (0, 11); В = (–3, 7]. 79. А = (– 4, +¥); В = [0, 3). 80. А = [– 2,+¥); В = (0, 4]. В упражнениях 70 – 79 доказать, что для любых множеств А, В, С верны равенства. 81. А Ç (ВÈС) = (АÇВ)È(АÇС). 82. (А Ç В) \С =А Ç (В \С). 83. (АÈВ)\С= (А\С)È(В\С). 84. (А\В) \С=(А\С)\В. 85. (А Ç В)\С = В Ç (А\С). 86. А = (А\В) È(АÇ В). 87. (А\В)'=А'È(АÇВ). 88. (АÈВ)' = А'ÇВ1 89. (А ÇВ)' = А' È В1 90. АÈ (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С). 91. Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство: а) (А \ В) Ç В = Æ; б) (A \ В) Ç (А Ç В) = Æ; в) (A \ В) È (А Ç В) = А. 92. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство: a) (A \ В) Ç (A \ С) = A \ (В È С); б) A Ç В \ С = А Ç (B\С). Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия: 1. Все подмножества, образующие разбиение, не пусты. 2. Любые два таких подмножества не пересекаются. 3. Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают. Символическая запись этого определения следующая. Пусть дано множество А и совокупность его подмножеств: А1, А2, ..., Ап (где Аi Ì А, i = 1, 2,..., n). Совокупность подмножеств А1, А2, ..., Ап называется разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия: 1. Аi ¹Æ, i = 1, 2,…, n. 2. AiÇAj = Æ, i, j = 1, 2, …,n; i ¹ j. 3. A1ÈA2È…ÈAn = A Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.
Рекомендуемые страницы: |
; 0; – 27; 5.4; 
. Какие из них принадлежат множеству:
10}, В = {х/хÎ Z, х 
), D = [8; 12);
;0], D = [0, 7];
).