УПРАЖНЕНИЯ

1. Даны числа 19; ; 0; – 27; 5.4; . Какие из них принадлежат множеству:

а) целых чисел;

б) целых неотрицательных чисел;

в) рациональных чисел;

г) действительных чисел?

2. Покажите на координатной прямой множество точек, координаты которых: а) меньше 4; б) больше 4; в) не больше 4; г) не меньше 4.

3. Изобразите на координатной прямой множество Х, если:

а) Х = {х/х Î R и – 2 ≤ х < 7}; б) Х {х/х Î R и – 2 ≤ х ≤ 7};

в) Х ={х/х Î R и х < 7}; г) Х = {х/х Î R и х ≥ – 2}.

4. Задайте числовое множество описанием характеристического свойства элементов:

а) (3; 8);

б) (– ¥; 7];

в) (– ¥; -3];

г) [– 5, 2; 0];

д) [– 8; +¥);

е) (2, 7; +¥);

ж) [0; 7, 8);

з) (–4; 8].

5. Задайте двумя способами множества точек координатной прямой (рис. 6)

а)

6

б)

3, 2 7

 

в)

– 3, 7

 

г)

– 4 2, 4

д)

– 8, 2 – 4, 3

е)

18

ж)

21

з)

– 3 0

 

Рис. 6

 

6. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них истинные:

а) 3Î (3; 12];

б) – 0, 2 Î [– 0, 3; 0];

в) 0Î (– ¥; 0];

г) 5Î (6; +¥);

д) 75Î Q;

е) 6, 4Î Z;

ж) – 7Î N;

з) – 0, 3Î Z.

7. Постройте прямую и отметьте на ней начало отсчета, единичный отрезок, точку А(5) и все точки, расстояние каждой из которых от точки А: а) равно 2; б) не больше 2; в) больше 2.

8. Отметьте на координатной прямой точку В(2) и укажите характеристическое свойство множества точек, изображенных на рис. 7

Рис. 7

9. Решите уравнения, используя понятие расстояния между двумя точками на координатной прямой:

а) | х | = 3;

б) | 7 – а | = 4;

в) | х – 4 | = 3;

г) | р | = – 2;

д) | х | + 1 = 4;

е) 7 + | у | = 1.

10. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства:

а) | х | ≤ 3;

б) | х | > 4;

в) | х + 3 | ≤ 1;

г) | х – 4 | ≥ 2.

Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывания из задач 11 – 20:

11. а) некоторые натуральные четные числа кратны 11;
б) все числа, делящиеся на 10, делятся и на 5.

12. а) ни один параллелограмм не является трапецией;
б) любой квадрат есть прямоугольник.

13. а) каждое из чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, делится на 5;

б) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 3, не делится на 6.

14. а) все квадраты являются четырехугольниками;

б) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольными.

15. а) все мальчики 5 «а» класса участвовали в туристическом походе;

б) ни один мальчик 5 «а» не является неуспевающим учеником.

16. а) все равносторонние треугольники – равнобедренные;

б) некоторые ромбы являются прямоугольниками.

17. а) любой квадрат есть ромб;

б) некоторые трапеции являются четырехугольниками с прямым углом.

18. а) все девочки в классе сидят за первыми партами;

б) некоторые числа, делящиеся на 3, делятся и на 9.

19. а) ни один мальчик не сидит за первой партой;

б) некоторые числа, запись которых оканчивается цифрой 5, де­лятся на 3;

20. а) все мальчики в классе занимаются в кружке по рисованию;

б) некоторые двузначные натуральные числа являются четными.

21. Перечислите элементы следующих множеств, задайте множества с помощью характеристического свойства:

а) А – множество натуральных чисел, меньших 7;

б) В – множество натуральных чисел, кратных числу 3 и меньших 20;

в) С – множество натуральных делителей числа 26;

г) Д – множество чисел, абсолютная величина которых равна 5.

22. Прочтите следующие записи и перечислите элементы каждого из
множеств:

а) А = {х/х Î N, х^г= 16};

в) С = {х/х Î Z, |х| < 4};

б) В = {х/х Î N, х²< 9};

г)Д= {х/х Î Z, х< 9}.

23. Изобразите на числовой прямой следующие множества:

а) А = { х/х Î R, х< 9 };

б) В= { х/х Î R, х> 4 }.

Изобразить множества с помощью кругов Эйлера. Определить отношения между множествами.

24. А = {х/х Î N, х 10}, В = {х/хÎ Z, х 2}, С= {х/х Î Z, х 5}.

25. А = {х/х Î N, х 4}, В = {х/х Î N, х 12}, С = {х/х Î N, х 2}.

26. A = {х/х Î N, х 4}, B = {х/х Î N, х 12}, С = {х/х Î Z, х 2}.

27. A = {х/х Î R, 5 < х < 10}, B = {х/х Î Z, 5 < х < 28}, С={х/х Î Z, x < 20}

28. A = {х/х Î R, х < 2}, B = {х/хÎ Z, х < 2}, С= {х/х Î Z, - 2 < х < 1}.

29. A = {х/х Î Z, х 9}, B = {х/хÎ N, х 9}, С= {х/хÎ N, х 27}.

30. А= {х/х Î Z, х 9}, B = {х/х Î N, х 9}, С = {х/х Î Z, х 27}.

31. А = {х/х Î Z, х 6}, B = {х/хÎ N, х 6}, С = {х/х Î Z, х 2 и х 3}.

32. А = {х/х Î Z и – 2 < х < 8}, В= {х/х Î Z и – 1, 5 < х < 7}, С = {х/х Î R и х < 10}.

33. А = {х/х Î Z и х < 7}, В = {х/х Î Z и – 1 < х < 8}, С = {х/х Î R и х < 10}.

34. Установите отношения между множествами А, В и С и изобразите их при помощи кругов Эйлера, если:

а) А – множество четных натуральных чисел, В – множество натуральных чисел, кратных 10, С – множество натуральных чисел, кратных 5;

б) А – множество треугольников, В – множество прямоугольных треугольников, С – множество остроугольных треугольников;

в) А – множество треугольников с углом 45°, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

г) А – множество ромбов, В – множество пятиугольников, С – множество многоугольников, содержащих угол 60°.

35. Установите, в каком отношении находятся множества В и D, если:

а) В = [3; 5], D = [4; 6];

б) В = (7; ), D = [8; 12);

в) В = (; 0], D = [0, 7];

г) В = (–5; –1), D = (–1, 6).

36. В каком случае множества С и D пересекаются:

а) С – множество четных однозначных чисел,

D – множество нечетных однозначных чисел;

б) С – множество четных однозначных чисел,

D – множество чисел, кратных 3;

в) С – множество прямоугольных треугольников,

D – множество равнобедренных треугольников;

г) С – множество прямоугольников с равными сторонами,

D – множество квадратов?

37. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества Р и Q, если Р – множество равнобедренных треугольников, а Q есть множество: а) остроугольных треугольников; б) прямоугольных треугольников; в) равносторонних треугольников.

38. Дано множество С = {213, 45, 324, 732, 136}. Составьте подмножество множества С, состоящее из чисел, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) не делятся на 4; г) делятся на 5.

39. А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество квадратов. Докажите, что В Ì А и С Ì В. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера.

40. Дано множество М = {к, l, m}. Образуйте все его: а) одноэлементные подмножества; б) двухэлементные подмножества; в) трехэлементные подмножества. Присоедините к полученным подмножествам пустое множество. Сколько всего подмножеств получили?

41. А – множество натуральных чисел, меньших 20; В, С, D и Е – подмножества множества А, такие, что В состоит из чисел, кратных 6, С – из чисел, кратных 2, D – из чисел, кратных 3, Е – из чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Перечислите элементы множеств А, В, С, D и Е и укажите среди них равные множества.

42. М – множество натуральных решений неравенства 2 ≤ х < 7, K – множество натуральных решений неравенства 1 < х ≤ 6. Какие из следующих высказываний истинны: а) М Ì К; б) К Ì М; в) М = K?

43. Докажите, что А = В, если: а) А – множество двузначных чисел, кратных 9, В – множество двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 9; б) A – множество натуральных чисел, запись которых оканчивается нулем, В – множество натуральных чисел, кратных 10.

44. А – множество двузначных чисел; В – множество четных натуральных чисел; С – множество натуральных чисел, кратных 4. В каком из случаев, представленных на рисунке 8, изображены данные множества? Приведите примеры множеств А, В и С, если их изображение таково, как на рисунке 8.

 

 

а) б) в)

Рис. 8

 

45. Найдите пересечение и объединение множества С = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} и множества D, если:

а) D = {12, 14, 18, 20, 22, 24};

б) D = {14, 16, 18, 20};

в) D = {3, 4, 5, 6};

г) D = С.

46. Вместо многоточия поставьте «и» либо «или»:

а) Элемент х принадлежит объединению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р … множеству Q.

б) Элемент х не принадлежит множеству Р È Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р... не принадлежит множеству Q.

в) Элемент х принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он принадлежит множеству Р... принадлежит множеству Q.

г) Элемент х не принадлежит пересечению множеств Р и Q тогда и только тогда, когда он не принадлежит множеству Р... не принадлежит множеству Q.

47. Даны множества А и В. Сформулируйте условия, при которых А Ç В ¹ Æ, А È В ¹ Æ, А Ç В = В, А È В = В, если:

а) А – множество учащихся класса, занимающихся в кружке по рисованию, В – множество мальчиков класса;

б) А – множество девочек класса, В – множество отличников класса.

48. Укажите характеристическое свойство элементов множества Х = А Ç В È С, если A = (–3; 0], B =]–2, 2[, С = (0, ).

Верно ли, что: а) 0 Î X; б) –2 Î X; в) 27, 3 Î X?

49. Укажите характеристическое свойство элементов множества М = А È В Ç С, если A = (; – 2), В = (–7; – 1], С = (–3, ).

Принадлежат ли множеству М числа: –3, 7; 0; 12?

50. С – множество трапеций, D – множество параллелограммов, Е – множество четырехугольников, имеющих прямой угол. Постройте для данных множеств круги Эйлера, выделите штриховкой области, изображающие множества С È D Ç Е и СÇ D È Е, и задайте каждое из них описанием характеристического свойства. Для каждого случая сделайте отдельный чертеж.

 

51. Р – множество натуральных делителей числа 18, Q – множество натуральных делителей числа 24. Укажите характери­стическое свойство элементов пересечения множеств Р и Q и перечислите его элемент

52. Найдите пересечение и объединение множеств К и М, если К – множество двузначных чисел, М – множество нечетных чисел. Верно ли, что:

а) 21 Î К Ç М;

б) 32 Ï К Ç М;

в) 32 Î K È М;

г) 7 Î К Ç М;

д) 7 Î К È М;

е) 135 Ï K È М?

53. Постройте круги Эйлера для множеств А, В и С и укажите характеристическое свойство элементов множества А Ç (В Ç С), если:

а) А – множество правильных многоугольников, В – множество треугольников, С – множество четырехугольников;

б) А – множество параллелограммов, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников;

в) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество равносторонних треугольников;

г) A – множество прямоугольных треугольников, В – множество равнобедренных треугольников, С – множество треугольников.

В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множество АÇ ВÇ С, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству.

54. Даны множества: А = {а, b, с, d, е}, В = {с, d, f, к), С = {b, с, d, f, m}. Перечислите элементы множеств К = (А È В)Ç С и Р = A È (В Ç С). Содержится ли элемент m в множестве К, а элемент f в множестве Р?

55. А – множество чисел, кратных 2, В – множество чисел, кратных 3, С – множество чисел, кратных 5. Укажите характеристическое свойство элементов множеств (А È В) Ç С и (А Ç В) È С.

56. Найдите разность множества А = {a, b, c, d, e} и множества В, если:

а) В = {c, d, e, f, k, l};

б) В = {a, c, e};

в) B = {c, a, d, e};

г) B = {k, l, m};

д) В = {a, b, c, d, e, f, k};

е) В = Æ;.

57. Даны множества: Р – множество остроугольных треугольников, Q – множество равнобедренных треугольников, S – множество равносторонних треугольников. Укажите характеристическое свойство элементов множеств X = (Р Ç Q) \ S и Y = Q' Ç (Р È S). Установите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 13, принадлежат множеству X, а какие – множеству Y.

58. Т – множество многоугольников, имеющих прямой угол, Р – множество квадратов, М – множество треугольников. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = Р È (М \ Т).

59. Известно, что X – множество двузначных чисел, Е – множество четных натуральных чисел, У – множество натуральных чисел, кратных 4. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество: а) А = X Ç YÇ Е, б) В = X È Y \ В; в) С = X Ç Y' È E. Каковы характеристические свойства элементов множеств A, B и С?

60. А – множество параллелограммов, В – множество треугольников, С – множество многоугольников с углом в 60°. Начертите две фигуры, принадлежащие множеству X = А Ç С È В, и две фигуры, принадлежащие множеству Y = (С \ А) \ В.

61. Множество А состоит из натуральных чисел от 2 до 10, множество В – из натуральных чисел от 5 до 20. Перечислите элементы множеств А\ В и В \ А.

62. Р – множество двузначных чисел, Q – множество четных натуральных чисел. Изобразите данные множества при помощи кругов Эйлера, отметьте штриховкой разность множеств Р и Q и укажите характеристическое свойство элементов, принадлежащих этой разности. Верно ли то, что Р \ Q содержит числа 21; 17?

В следующих упражнениях изобразить множества А, В, С, Д на кругах Эйлера и заштриховать область, изображающую множество X. Задать множество X словесным способом, при необходимости ввести подходящее универсальное множество И.

63. А – множество четырехугольников плоскости, В – множество прямоугольников, С – множество четырехугольников со стороной 5 см.

а) Х = (В\А) È (А Ç С); б) Х=(А Ç В) и (А\С); в) Х = АÇ (ВÈ С).

64. В – множество прямоугольников, С – множество ромбов, Д – множество четырехугольников, имеющих прямой угол.

а) Х = Д È (В\С); б) Х = (Д Ç В) È С.

65. А – множество прямоугольников, В – множество ромбов, С – множество параллелограммов со стороной 3 см:

а) Х = А'Ç (В\С); б) Х = (АÇ В)\С; в) Х = (А\С)È В

66. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:

а) Х = (А\ В)Ç С; б) Х=(А\В)\С; в) Х=А' È (В\С).

67. А – множество прямоугольных треугольников, В – множество равносторонних треугольников, С – множество треугольников со стороной 3 см:

а) Х= (А Ç С) È (В Ç С); б) Х= (А\С) Ç В'.

Найти А È В, АÇ В, А\В, В\А, и А, И= R вследующих упражнениях.

68. Множества X и Y являются подмножествами универсального множества, и X Ç Y¹ Æ;. Изобразите их при помощи кругов Эйлера и выделите штриховкой множество:

a) X' Ç Y',

б) X' È Y',

в) (X È Y)';

г) (X Ç Y)'.

Для каждого случая сделайте отдельный чертеж. Есть ли среди этих множеств равные?

69. А – множество однозначных чисел, В – множество нечетных однозначных чисел, С – множество однозначных чисел, кратных 3. Изобразите множества А, В и С при помощи кругов Эйлера. Отметьте штриховкой (для каждого случая сделайте отдельный чертеж) множество:

а) В';

б) С';

в) В' Ç С';

г) В'Ç С';

д) (В Ç С)';

е) (ВÈ С)'.

Каково характеристическое свойство элементов каждого из этих множеств? Есть ли среди этих множеств равные?

70. А = (–¥, 3); В = (– 3, +¥).

71. А = [0, 5]; В = (–3, 2).

72. А = (– 3, 7]; В = [5, 6).

73. А = (–¥, 5); В = (0, +¥).

74. А = [0, 5]; В = (–3, 0).

75. А = [– 3, 7); В = (1, 5].

76. А = [– 2, 7); В = (3, 5].

77. А = (–¥, 3); В = [3, 10).

78. А = (0, 11); В = (–3, 7].

79. А = (– 4, +¥); В = [0, 3).

80. А = [– 2, +¥); В = (0, 4].

В упражнениях 70 – 79 доказать, что для любых множеств А, В, С верны равенства.

81. А Ç (ВÈ С) = (АÇ В)È (АÇ С).

82. (А Ç В) \С =А Ç (В \С).

83. (АÈ В)\С= (А\С)È (В\С).

84. (А\В) \С=(А\С)\В.

85. (А Ç В)\С = В Ç (А\С).

86. А = (А\В) È (АÇ В).

87. (А\В)'=А'È (АÇ В).

88. (АÈ В)' = А'Ç В¹

89 . (А Ç В)' = А' È В¹

90 . АÈ (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).

91. Докажите, что для любых множеств А и В верно равенство:

а) (А \ В) Ç В = Æ; б) (A \ В) Ç (А Ç В) = Æ; в) (A \ В) È (А Ç В) = А.

92. Докажите, что для любых множеств А, В и С верно равенство:

a) (A \ В) Ç (A \ С) = A \ (В È С); б) A Ç В \ С = А Ç (B\С).
5. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ

Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1. Все подмножества, образующие разбиение, не пусты.

2. Любые два таких подмножества не пересекаются.

3. Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают.

Символическая запись этого определения следующая.

Пусть дано множество А и совокупность его подмножеств: А₁, А₂,..., А_п ( где А_i Ì А, i = 1, 2,..., n).

Совокупность подмножеств А₁, А₂,..., А_п называется разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия:

1. А_i ¹ Æ, i = 1, 2, …, n.

2. A_iÇ A_j = Æ, i, j = 1, 2, …, n; i ¹ j.

3. A₁È A₂È …È A_n = A

Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.