Краткая теория и задания. Электрической цепью называют совокупность устройств, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью

 

Электрической цепью называют совокупность устройств, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о ЭДС, напряжении и токе. Задача анализа электрических цепей обычно сводится к определению тем или иным методом токов в ветвях и напряжений на различных участках цепи.

В основе методов анализа цепей лежат законы Кирхгофа и Ома. Для линейных цепей справедливы: принцип наложения (суперпозиции), теорема об эквивалентном генераторе и др.

 

2.1 Эквивалентные преобразования

 

В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в схеме замещения заменить группу резистивных элементов другим (эквивалентным) элементом. Эквивалентным преобразованием называется такое преобразование, при котором после замены одной группы элементов на другую режим работы остальной части электрической цепи не меняется.

 

2.1.1 Последовательное соединение

 

Последовательным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток. Эквивалентное преобразование заключается в том, что два (и более) резисторов в электрической цепи включенных последовательно можно заменить одним, сопротивление которого находится как

 

Задание:

1. Рассчитайте эквивалентное сопротивление двухполюсника, состоящего из двух последовательно соединенных резисторов R1 и R2, номиналы значений которых указанных в индивидуальном задании.

2. Запустите программу EWB.

3. Подготовьте новый файл для работы. Для этого необходимо выполнить следующие операции из меню: File/New и File/Save as. При выполнении операции Save as будет необходимо указать имя файла и каталог, в котором будет храниться схема. Рекомендуется сохранять схему под фамилией исполнителя и названием группы.

4. Поместите в рабочую область два резистора R1 и R2 и задайте их номиналы в соответствии с вашим индивидуальным заданием. Создайте в схеме соединение с землей.

5. Подключите мультиметр к схеме, как показано на рис. 2.1. Описание работы мультиметра в программе EWB описано в Приложении 2.

 

 

Рис. 2.1 Пример схемы включения мультиметра

 

Установите измеряемую величину в Омах и нажмите кнопку . Нажмите кнопку запуска анализа на панели инструментов. . На передней панели мультиметра при этом появится измеренное значение сопротивления.

6. Проверьте полученное значение эквивалентного сопротивления на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

7. Сопоставьте измеренное и расчетное значения сопротивлений для схемы изображенной на рис. 2.1. Сделайте вывод о возможной замене двух последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным.

 

Замечание: Чтобы избежать ошибочных показаний, схема должна иметь соединение с землёй и не иметь контакта с источниками электрической энергии. Если в схеме содержатся источники электрической энергии, они должны быть исключены, причем участок ветви, содержащей идеальный источник тока, должен быть заменен разрывом цепи, а участок ветви, содержащей идеальный источник напряжения - короткозамкнутым участком.

 

2.1.2 Параллельное соединение

 

Параллельным соединением участков электрической цепи называют соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т.е. находится под действием одного и того же напряжения.

Эквивалентное преобразование заключается в том, что два (и более) резистора в электрической цепи, включенные параллельно можно заменить одним. Эквивалентная проводимость цепи при параллельном соединении потребителей определяется суммой проводимостей потребителей

Если параллельно включены три сопротивления R ₁, R ₂ и R ₃, то

откуда .

Задание:

1. Рассчитайте эквивалентное сопротивление двухполюсника, состоящего из трех параллельно соединенных резисторов R1, R2 и R3, номиналы значений которых приведены в индивидуальном задании.

2. Поместите в рабочую область три резистора R1, R2 и R3 и задайте их номиналы в соответствии с вашим индивидуальным заданием. Создайте в схеме соединение с землей.

3. Подключите мультиметр как показано на рис. 2.2 и измерьте значение сопротивления.

 

 

Рис. 2.2 Пример схемы включения мультиметра

 

4. Проверьте полученное значение эквивалентного сопротивления на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

5. Сопоставьте измеренное и расчетное значения сопротивлений для схемы изображенной на рис. 2.2. Сделайте вывод о возможной замене трех параллельно включенных сопротивлений одним эквивалентным.

 

2.1.3 Эквивалентное преобразование сопротивлений соединенных треугольником в соединение звездой.

 

В некоторых схемах можно выделить группы из трех элементов, образующих соединение треугольником или звездой. В случае, если в схеме нельзя применять формулы эквивалентных преобразований последовательного и параллельного соединений, схему упрощают путем преобразований треугольник-звезда.

Рассмотрим в качестве примера схему на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3 Схема преобразования треугольника сопротивлений

в эквивалентную звезду

 

Контур, состоящий из трех сопротивлений R_ab, R_bc и R_ca, имеющий три узла a, b и c, образует треугольник сопротивлений. Часть электрической схемы, состоящая из трех сопротивлений R_a, R_b и R_c, соединенных в одной узловой точке 0, образует звезду сопротивлений.

Преобразование схемы должно производится так, чтобы при неизменном напряжении между точками a, b, c токи I_a, I_b и I_c звезды и треугольника оставались без изменений.

Эквивалентность схем треугольника и звезды сопротивлений получается приравниванием значений сопротивлений или проводимостей между одноименными узлами этих схем, отсоединенных от остальной части цепи.

Формулы для эквивалентного преобразования соединения треугольника в соединение звездой:

 

;

;

.

Задание:

1. Рассчитайте эквивалентные сопротивления R_a, R_b и R_c схемы, изображенной на рисунке 2.3, если значения сопротивлений R_ab, R_bc и R_ca равны значениям сопротивлений, приведенным в индивидуальном задании , , .

2. Соберите схему как показано на рис. 2.4. Подключите мультиметр и измерьте сопротивление в схеме относительно точек d-e.

 

 

Рис. 2.4 Пример схемы включения мультиметра

 

3. Измените схему как показано на рис. 2.5. Вместо сопротивлений R_a, R_b и R_c установите сопротивления, рассчитанные в пункте 1 задания.

4. Рассчитайте эквивалентное сопротивление в схеме относительно точек d-e.

5. Подключите мультиметр и измерьте сопротивление в схеме относительно точек d-e.

6. Проверьте полученное значение эквивалентного сопротивления на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

7. Сопоставьте измеренное и расчетное значения сопротивлений. Сделайте вывод о возможном эквивалентном преобразовании треугольника сопротивлений в звезду сопротивлений.

 

 

Рис. 2.5 Пример схемы включения мультиметра

 

2.2 Законы Кирхгофа

 

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узлах электрической цепи не может происходить накопление зарядов. Следовательно, сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла, или алгебраическая сумма токов в ветвях, подключенных к потенциальному узлу электрической цепи равна нулю .

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии. Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом же контуре: . Знаки слагаемых в каждой сумме зависят от совпадения или несовпадения положительного направления падений напряжений и ЭДС с направлением обхода контура.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для произвольного контура электрической цепи, можно изобразить в виде графика - потенциальной диаграммы. По оси абсцисс откладывают величины сопротивлений, входящих в рассматриваемый контур, по оси ординат - потенциалы узлов контура. Каждому узлу контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Потенциальная диаграмма может быть построена по расчетным или экспериментальным данным. При этом потенциал одной из точек контура принимают известным (обычно равным нулю). Потенциалы других точек отсчитывают относительно известного потенциала.

Задание:

1. В рабочей области EWB составьте схему как показано на рис. 2.6.

Рис. 2.6 Пример схемы соединения элементов

 

В схеме используйте значения номиналов элементов, приведенные в индивидуальном задании.

Для установки в схеме двухпозиционных ключей из панели инструментов выберите кнопку Basic . Из открывшегося набора элементов выберите двухпозиционный ключ Switch .

Для того чтобы, разместить в схеме (рис. 2.6) дополнительные узлы (узел m и n), из панели инструментов выберите кнопку Basic . Из открывшегося набора элементов выберите узел Connector .

Чтобы установить в схеме амперметр из панели инструментов выберите кнопку Indicators , из открывшегося набора элементов выберите амперметр (Ammeter) .

Замечание 1: Для того, чтобы амперметр работал в режиме измерения постоянного тока необходимо вызвать окно Properties закладку Value для амперметра. В поле Mode этой закладки необходимо указать значение DC (Direct Current) – измерение постоянного тока (AC (Alternating Current) – измерение переменного тока).

Замечание 2: При работе амперметра в режиме DC одна из сторон изображения прибора отмечена жирной линией – это минусовой вывод прибора. При протекании тока через прибор в направлении от плюсового вывода к минусовому, его показания положительны, в противном случае на дисплее прибора отображается знак «минус».

 

3. Когда схема собрана, нажмите кнопку начала анализа на панели инструментов.

4. Занесите показания амперметров в табл. 2.1.

Таблица 2.1

 

Измерено	Вычислено
	I 1, А	I 2, А	I 3, А	å Ik, А
без внутреннего сопротивления
с внутренним сопротивлением

 

5. Проверьте выполнение первого закона Кирхгофа.

6. Остановите анализ и сохраните изменения в схеме.

7. Измените внутренние сопротивления амперметров с помощью команды Circuit\Component Properties вызовите закладку Value. В поле Resistance значение сопротивления для каждого амперметра от 1 до 3 Ом. С помощью клавиши пробела осуществите срабатывание ключей, подключив внутренние сопротивления источников. Показания амперметров занесите в табл. 2.1.

8. Проверьте полученные значения токов на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

9. Сделайте вывод о том, какое влияние на значения токов и напряжений в электрической цепи оказывают внутренние сопротивления источников и измерительных приборов.

10. Выполните команду File\Revert to Saved, восстанавливающую схему к виду, который она имела в момент последнего сохранения.

11. Считая потенциал точки d равным нулю, определите потенциалы других точек, используя вольтметр из панели инструментов.

Для того чтобы установить в схеме вольтметр: из панели инструментов выберите кнопку Indicators , из открывшегося набора элементов выберите вольтметр Voltmeter . Создайте соединение вольтметра с точками d-m, d-n и d-f.

Данные измерений занесите в табл. 2.2.

Таблица 2.2

 

Измерено
jd, В	jm, В	jf, В	jn, В

 

11. Проверьте полученные значения потенциалов на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

12. Проверьте выполнение второго закона Кирхгофа для двух контуров, используя то, что напряжение на участке есть разность потенциалов между соответствующими точками:

- для внешнего;

- для любого другого контура.

13. По данным измерений и известным значениям R ₁, R ₂, R ₃ постройте потенциальную диаграмму для внешнего контура схемы.

14. Сделайте вывод о выполнении законов Кирхгофа для линейных электрических цепей.

 

2.2 Принцип наложения

 

Принцип наложения гласит: ток в любой ветви линейной электрической цепи, находящейся под воздействием нескольких источников электрической энергии, равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым источником в отдельности. Принцип наложения справедлив и для напряжений.

Задание:

1. С помощью метода наложения рассчитайте величину тока I ₃ для схемы по рис. 2.6 учитывая, что внутренние сопротивления источников ЭДС и амперметром стремятся к нулю.

2. Экспериментально проверьте рассчитанное значение тока. Для этого, поочередно исключая источники E ₁ и E ₂ из схемы, с помощью амперметров измерьте частичные токи I _к' и I _к'', создаваемые источниками в отдельности. Результаты опыта сведите в табл. 2.3.

 

Таблица 2.3

 

Измерено	Вычислено
	I 1', A	I 1'', A	I 2', A	I 2'', A	I 3', A	I 3'', A	å I k'	å I k''
E 1
E 2
I k= I k'+ I k''

 

3. Вычислите токи в схеме с двумя источниками, учитывая знаки частичных токов.

4. Проверьте полученное значения частичных токов на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

5. Сопоставьте измеренное и расчетное значения тока I ₃. Сделайте вывод о соблюдении принципа наложения для линейных электрических цепей.

 

2.3 Теорема об эквивалентном генераторе

 

Теорема об эквивалентном генераторе гласит: любая сложная линейная цепь по отношению к заданной ветви может быть представлена активным двухполюсником - эквивалентным генератором с ЭДС E_ЭГ и внутренним сопротивлением R_ВН, причем ЭДС E_ЭГ равна напряжению на зажимах разомкнутого двухполюсника (напряжению холостого хода), а сопротивление R_ВН равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны зажимов, к которым подключена исследуемая ветвь.

ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора могут быть определены либо расчетным, либо экспериментальным путем. В последнем случае для определения E _ЭГ и R _ВН обычно проводят опыты холостого хода и короткого замыкания. При этом напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а , где I _КЗ- ток короткого замыкания в выделенной ветви.

Искомый ток в исследуемой ветви с сопротивлением R может быть определен по закону Ома

.

Задание:

1. Для схемы по рис. 2.6 рассчитайте величину тока I ₃ методом эквивалентного генератора. Рассчитанные значения U _ХХ, R _ВН и I ₃ занесите данные в табл. 2.4

2. Экспериментально проверьте рассчитанное значение тока. Для этого, рассматривая электрическую цепь относительно зажимов третьей ветви в виде активного двухполюсника - эквивалентного генератора с параметрами E _ЭГ и R _ВН, определите эти параметры из опытов холостого хода и короткого замыкания.

- опыт короткого замыкания. Замкнув накоротко проводником сопротивление R ₃ измерьте ток короткого замыкания I _КЗ в третьей ветви.

- опыт холостого хода. Разомкните проводник b-f и измерьте напряжение холостого хода U _ХХ на зажимах третьей ветви, подключив вольтметр к точкам d-f.

3. Данные опыта занесите в табл. 2.4. Вычислите внутреннее R _ВН сопротивление и ток I ₃ по методу эквивалентного генератора.

 

Таблица 2.4

 

	U ХХ = E ЭГ, В	I КЗ, А	R ВН, Ом	I 3, мА
Вычислено
Измерено

 

4. Проверьте полученное значения напряжения холостого хода и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

5. Сопоставьте измеренное и расчетное значение тока I ₃. Сделайте вывод о возможности использования для электрических цепей теоремы об эквивалентном генераторе.

 

2.4 Метод контурных токов

 

При расчете сложных цепей по первому, второму законам Кирхгофа необходимо решать систему из большого количества уравнений. Метод контурных токов (МКТ) позволяет уменьшить число уравнений до количества уравнений по второму закону Кирхгофа.

При расчете МКТ в схеме выделяют n независимых контуров, в каждом из которых произвольно направляют контурные токи.

Контурный ток - это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.

Количество уравнений, составляемых по МКТ соответствует количеству независимых контуров. Количество уравнений, составляемых по МКТ также можно определить из уравнения:

,

где В - количество ветвей схемы; В_J - количество ветвей содержащих источник тока; У - число узлов схемы.

Рассчитанное число уравнений составляем по второму закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через контурные токи. Общий вид системы уравнений для МКТ, составленной по второму закону Кирхгофа:

где I ₁₁, I ₂₂, … I_mm - контурные токи;

R ₁₁, R ₂₂, … R_mm - собственные сопротивления контуров - сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Собственные сопротивления в системе уравнений берутся со знаком плюс;

R ₁₂, R ₂₁, … R _{1 m}, R_{m 1} - взаимные сопротивления контуров - сопротивления ветвей, входящих в два смежных контура. Взаимные сопротивления контуров в системе уравнений берутся со знаком плюс, если направления контурных токов в общих ветвях совпадают, и со знаком минус - если не совпадают. Причем R ₁₂ = R ₂₁, … R _{1 m} = R_{m 1};

E ₁₁, E ₂₂, … E_mm - собственные ЭДС контура - алгебраическая сумма ЭДС входящих в контур. Слагаемое собственной ЭДС в системе уравнений записывается со знаком плюс, если направления ЭДС и обхода контурного тока совпадают, и со знаком минус - если нет.

Система уравнений решается любым известным способом.

Из найденных контурных токов определяются токи ветвей. Та ветвь, которая принадлежит только данному контуру, содержит ток равный контурному (со знаком плюс, если направление контурного тока совпадает с направлением тока ветви, и со знаком минус - если не совпадает). Если ветвь принадлежит к двум контурам, то ее ток вычисляется как алгебраическая сумма контурных токов, относящихся к данной ветви.

Задание:

1. Составьте систему уравнений методом контурных токов для схемы по рис. 2.7.

2. Используя значения номиналов сопротивлений и источников ЭДС R 1, … R 6, и E 1, … E 6, приведенных в индивидуальном задание, рассчитайте собственные и смежные сопротивления контуров, собственные ЭДС контура.

3. Составьте систему уравнений и с помощью программы Gauss определите значения контурных токов для рассматриваемой схемы.

4. Из найденных контурных токов вычислите токи в ветвях схемы.

 

Рис. 2.7 Пример схемы соединения элементов для расчета МКТ

 

5. В рабочей области EWB составьте схему, как показано на рис. 2.8. С помощью амперметров измерьте токи в ветвях схемы.

6. Проверьте полученное значение токов в ветвях схемы на странице проверки ответов http: //toe.ugatu.ac.ru, либо сверьте полученное значение у преподавателя.

 

Рис. 2.8 Пример схемы соединения элементов

7. Сравните расчетные данные с показаниями приборов. Сделайте вывод.

 

3 Контрольные вопросы

 

1. Что понимается под эквивалентным преобразованием цепи?

2. Как определяется эквивалентное сопротивление электрической цепи при последовательном соединении элементов?

3. Как определяется эквивалентное сопротивление электрической цепи при параллельном соединении элементов?

4. Какие величины могут быть измерены мультиметром в программе EWB?

5. Как осуществляется эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду?

6. Изобразите пример схемы разветвленной электрической цепь и запишите необходимое количество уравнений, которое необходимо составить по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях схемы?

7. Перечислите известные Вам методы расчета разветвленных электрических цепей.

8. Как влияет внутреннее сопротивление источников и измерительных приборов на значения токов и напряжений в электрических цепях.

9. В каком случае амперметр в программе EWB может показать отрицательное значение?

10. Как с помощью вольтметра в программе EWB определить потенциал произвольной точки в разветвленной электрической цепи?

11. Для каких электрических цепей справедлив принцип наложения?

12. В каких случаях целесообразно применение метода наложения?

13. В каком случае для расчета электрической цепи целесообразно применять метод эквивалентного генератора? Опишите методы определения E _ЭГ и R _ВН эквивалентного генератора.

14. Для каких электрических цепей целесообразно применять метод контурных токов? Как составляется система уравнений по методу контурных токов.