Математический маятник

Математическим маятником обычно называют тело малых размеров (материальную точку), подвешенное к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающее движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Рассмотрим движение плоского математического маятника по дуге радиуса l с центром в точке О (рис. 12). Определим положение точки М углом отклонения радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную из точки М в сторону положительного отсчёта угла , уравнение движения материальной точки из второго закона Ньютона будет иметь вид:

,

(1)

где – сила тяжести, действующая на точку М, – натяжение нити.

Уравнение (1) является основным законом динамики движения и в проекции на ось τ представляет движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

,

Рис. 12. Математический маятник

где – проекция силы тяжести по касательной. Получаем

.

Поскольку

или

то, сокращая на m и, полагая , уравнение движения материальной точки M будет иметь вид:

,

Для малых углов отклонения маятника, при которых , оно сводится к уравнению гармонических колебаний

.

(1)

Решение данного уравнения может быть записано в виде

,

(2)

где А – амплитуда, δ – начальная фаза колебания.

Таким образом, при малых амплитудах математический маятник совершает гармонические колебания с частотой и периодом .

Если определить период колебания математического маятника при длине , а затем удлинить нить и снова определить период колебания при длине , то

, .

Из разности двух последних выражений

,

получим

,

(3)

Формула (3) позволяет определить ускорение силы тяжести при помощи математического маятника.