Тема 8. Определенный интеграл

 

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций ([1 или 5, § 11.1 – 11.8, 11.10]; [2 или 6, § 11.1 – 11.4], или [3, § 11.1 – 11.8, 11.11 – 11.14], или [4, §7.1 – 7.8, 7.11 – 7.14]).

Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейной трапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится формула площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.

Студент должен знать определение определенного интеграла как предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Ньютона – Лейбница ([1, или 5, или 3, формула (11.15)]) – основной формуле интегрального исчисления – удается свести вычисление этого интеграла к нахождению приращения любой первообразной для данной функции на отрезке интегрирования. Следует обратить внимание на достаточное условие интегрируемости функции на данном отрезке – непрерывность функции на этом отрезке.

Используя метод подстановки при вычислении определенного интеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введения новой переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к старой переменной ([1 или 5, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3, 11.23]).

Применяя формулу интегрирования по частям, можно находить частное приращение первообразной uv в процессе решения, не откладывая это действие до полного отыскания первообразной ([1 или 5, или 3, пример 11.4]).

Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая, когда один из пределов интегрирования или оба не ограничены, т.е. когда подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков: или . Если при этом первообразная известна (является элементарной функцией), то сходимость несобственного интеграла устанавливается по определению. Если первообразная неизвестна (неопределенный интеграл не " берется" в элементарных функциях), то сходимость устанавливается косвенным путем с помощью признаков сходимости. Последнее выходит за рамки программы.

Применяя определенный интеграл для вычисления площадей плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми, образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что " простейшей" фигурой, площадь которой выражается определенным интегралом, является криволинейная трапеция. Во всех остальных случаях фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Решение задачи на вычисление площади криволинейной трапеции всегда начинают с построения чертежа и при этом следят за тем, чтобы граница фигуры содержала все заданные в условии линии и точки. (Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются площади различных плоских фигур) (см. ниже, раздел «Задачи для самоподготовки»).

Формула трапеций и другие формулы для приближенного вычисления определенных интегралов используются, когда соответствующая первообразная не является элементарной функцией (" неберущийся" неопределенный интеграл) или когда интеграл представляет собой трансцендентную функцию (для составления таблиц значений таких функций).

Тема 9. Дифференциальные уравнения (**)

Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. Дифференциальные уравнения первого порядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные) ([1или 5, §12.1, 12.2, 12.4 – 12.6]; [2 или 6, §12.1 – 12.4], или [3, §12.1, 12.2, 12.4 – 12.6, 12.11 – 12.14], или [4, §8.1, 8.2, 8.4 – 8.6, 8.12 – 8.15]).

Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаются уравнения, связывающие искомую функцию одной или нескольких переменных с производными (или дифференциалами) различных порядков и получившие название дифференциальных уравнений. Одна из таких задач о построении простейшей математической модели демографического процесса ([1или 5, или 3, пример 12.3]) рассматривается в данной теме.

Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию всегда имеет решение и притом единственное. Геометрически это означает существование единственной интегральной кривой дифференциального уравнения, проходящей через каждую точку открытого множества, в которой функция определена.

Студент должен знать основные понятия и уметь решать дифференциальные уравнения первого порядка различных типов – неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.

Раздел V. РЯДЫ (*)

Тема 10. Числовые ряды (*)

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать). Расходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак сравнения, Даламбера. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость. ([1 или 5, § 13.1–13.5]; [2 или 6, § 13.1 – 13.3], или [3, §13.1 – 13.7], или [4, §9.1 – 9.7].

При изучении данной темы студенты знакомятся с новой формой изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что обозначение , или u ₁ + u ₂ + …+ u_n + …, – символ, который не следует смешивать с обычной (конечной) суммой. Сумма и сходимость ряда определяется через предельный переход. При рассмотрении ряда могут решаться задачи: определение его суммы и исследование сходимости. Решение первой задачи «перекрывает» и вторую, но это не всегда возможно или вызывает значительные трудности. Решение второй задачи не менее важно, так как в случае, если ряд сходится, его сумма существует и ее можно найти приближенно с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа его первых членов.

Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для сходящихся рядов при ) не является достаточным, но из необходимого признака сходимости следует, что если предел общего члена , то ряд расходится. Поэтому исследование сходимости числового ряда рекомендуется начинать с вычисления предела его общего члена (если он находится не очень сложно). Если предел окажется равным нулю, то это означает, что ряд может сходиться. Чтобы установить, сходится ли ряд, далее применяют достаточные признаки сходимости.

Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве «эталонных» следующие ряды:

1) геометрический ряд – сходится при | q |< 1, расходится при

2) гармонический ряд – расходится;

3) обобщенный гармонический ряд – сходится при расходится при

К признаку сравнения обращаются тогда, когда признак Даламбера показывает, что . Во всех этих случаях применения достаточных признаков сходимости речь идет об исследовании рядов с положительными членами.

Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметь в виду два типа сходимости: абсолютную и условную. Важность этих понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами конечных сумм в отличие от условно сходящихся рядов. Решать вопрос о сходимости знакочередующегося ряда рекомендуем в таком порядке.

1. Составить ряд из абсолютных величин членов данного знакочередующегося ряда.

2. Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться, что этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притом абсолютно. Задача решена.

Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о сходимости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя; необходимо выполнить пункт 3.

3. Исследовать условную сходимость исходного знакочередующегося ряда, например, по признаку Лейбница.

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.

2. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

3. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).

4. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).

5. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

6. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.

7. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

8. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

9. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).

10. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

11. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.

12. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

13. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать).

14. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).

15. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

16. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты. Примеры.

17. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.

18. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.

19. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

20. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

21. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).

22. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

23. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.

24. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.

25. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

26. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

27. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

28. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. **

29. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры. **

30. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры. **

31. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Примеры.*

32. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармонический ряд и его расходимость.*

33. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры.*

34. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Пример.*

35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Пример.*

36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Пример. *