Тема 1. Функции

Понятие о множествах. Действительные числа и числовые множества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные функции. ([1 или 5, § 5.1 – 5.5, 5.7]; [2 или 6, гл. 5], или [3, §5.1 – 5.5, 5.7], или [4, §1.1 – 1.5, 1.7]).

Прежде всего полезно ознакомиться с некоторыми логическими символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для сокращения записей ([1, или 5, или 3, § 5.1, 6.1]).

Изучение темы следует начать с основных понятий теории множеств ([1 или 5, или 3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие математического анализа – функции, уметь находить область ее определения, знать способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный.

В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функции. Студент должен уяснить определение элементарной функции ([1, или 5, или 3, § 5.5]), четко знать свойства и строить графики следующих основных элементарных функций: y = C (постоянная), y = xⁿ (степенная),

y = a^x (показательная), y = log _ax (логарифмическая). Необходимо усвоить понятие сложной функции (функции от функции).

Построение графика четной (нечетной) функции можно значительно упростить, если учесть, что графики четных функций симметричны относительно оси Оy, а нечетных – относительно начала координат. Одним из характерных свойств функции является монотонность (т.е. ее возрастание или убывание на каком-либо промежутке).

Тема завершается рассмотрением линейной функции и элементов аналитической геометрии на плоскости – простейших уравнений прямой. Этот материал будет использоваться на III курсе при изучении дисциплин «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».

Основополагающее значение здесь имеет определение уравнения линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения следуют два важных для практики положения.

1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит линии, в противном случае – не принадлежит.

2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить систему, составленную из их уравнений.

Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учебный материал приведен в учебнике ([1, или 5, или 3, § 4.2]).

Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых, параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, или 5, или 3, пример 4.5].