Решение некоторых задач алгебры матриц

Вспомним основные определения алгебры матриц.

Если m*n выражений расставлено в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов, то говорят о матрице размера m*n.

Выражения aij называют элементами матрицы.

Элементы aii, стоящие в таблице на линии, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол квадранта n*n, образуют главную диагональ матрицы.

Матрицу размером m*n (m¹ n), называют прямоугольной, а в случае m=n – квадратной матрицей порядка n. В частности, матрица 1*n – вектор-строка, а матрица размера n*1 – вектор-столбец.

Квадратная матрица A={aij} размером n*n называется:

- нулевой, если все ее элементы равны нулю A={aij=0};

- верхней треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех i> j};

- нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех i< j};

- диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех i¹ j};

- единичной, если элементы главной диагонали равны 1, а остальные – нулю A={aij=0 для всех i¹ j и aij=1 для всех i=j}.

С квадратной матрицей связано понятие определителя, или детерминанта. Определителем матрицы А является число detA, или D, вычисляемое по правилу: detA = где сумма распределена на всевозможные перестановки (i1, i2, …in) элементов 1, 2, …n и содержит n! слагаемых, причем l=0, если перестановка четная и l=1 – если нечетная. Квадратная матрица является невырожденной, когда ее определитель отличен от 0. В противном случае она будет вырожденной, или сингулярной. В МКАДе определитель рассчитывается нажатием соответствующей кнопки панели инструментов матрицы и указанием имени матрицы: ½ А½ =

Приведем определения некоторых специальных матриц. Квадратная матрица называется:

Симметрической, если Ат=А;

Кососимметрической, если Ат=-А;

Ортогональной, если ½ А½ =detA¹ 0 и Ат=А-1;

Идемпотентной, если А²=А; А²=А*А;

Инволютивной, если А²=Е, где Е – единичная матрица.

Возведение в степень возможно только для квадратных матриц.

 

Пример. В результате эксперимента для ряда кругов разной зернистости (dz=0, 1 0, 16 0, 25 0, 4 0, 63) получили ряд данных о шероховатости. Построить график зависимости.

 

1 способ – созданием матрицы из 5 строк и 2 столбцов. Имя матрицы М, вызываем команду создать матрицу и заполняем шаблон значениями:

1столбец -0, 1 0, 16 0, 25 0, 4 0, 63. 2 столбец - 0, 048 0, 043 0, 035 0, 025 0, 018.

М^{< 0>} - 1столбец матрицы; М^{< 1>} - 2 столбец матрицы (команда на панели матрицы)

Строим график М^{< 1>} =f(М^{< 0>} ).

2 способ – созданием дискретной переменной и двух векторов.

i: =0..4 dz[i: = 0.1, 0.16, 0.25, 0.4, 0.63

Ra[i: = 0.048, 0.043, 0.035, 0.025, 0.018

Значения элементов вектора вводятся через запятую и выстраиваются в столбец.

Строим график Ra(dz) от dz.

3 способ – созданием двух векторов.

X: =, далее вызываем шаблон, заполняем одну строку и 5 столбцов. Чтобы получить вектор, выделяем все, что в скобках и транспонируем: (0, 1 0, 16 0, 25 0, 4 0, 63)^Т

Y: = (0, 048 0, 043 0, 035 0, 025 0, 018)^Т

Строим график Y(X) от X.

 

Матричное уравнение – это уравнение типа А*Х=В или Х*А=В, где Х – неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу, обратную А, то оно примет вид: А^-1*А*Х=А^-1*В или Х*А*А^-1=В*А^-1. Поскольку Е*Х = Х*Е = Х, то неизвестную матрицу Х можно найти так: Х = А^-1*В или Х=В*А^-1. Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение, если А и В – квадратные матрицы n-го порядка и определитель матрицы не равен 0.