Где X — некоторая постоянная, п — произвольное целое

Функции (7.35) имеют максимум прит — п/Х и нормированы.

Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, опре­деляется последовательностью случайных событий — длительностями обслужива­ния каждого из покупателей. Распределение вероятностей длительности обслужи­вания имеет тот же качественный вид, что и в предыдущем случае.

Для примера в таблице в колонке А записаны случайные числа — промежутки между приходами клиентов (в минутах), в колонке В — случайные числа — дли­тельности обслуживания (в минутах). Для определенности взято а_тах = 10 и Ь_тгх = 5.

Из этой короткой таблицы, разумеется, невозможно установить, какие законы распределения приняты для величин А и В. Остальные колонки предусмотрены для удобства анализа; входящие в них числа находятся путем элементарного расчета. В колонке С представлено условное время прихода клиента; В — момент начала обслуживания; Е — момент конца обслуживания; Е — длительность времени, про­веденного клиентом в системе в целом; С — время, проведенное в очереди в ожидании обслуживания; Н — время, проведенное системой в ожидании клиентов (если их нет). Таблицу удобно заполнять по горизонтали, переходя от строчки к строчке. Так как начало обслуживания очередного клиента определяется либо вре­менем его прихода, если система не занята, либо временем ухода предыдущего клиента, приведем для удобства соответствующие формулы (в них / = 1, 2, 3,...):

с, = 0, с_/+1 = С/ + я_/+1; < 1_Х = 0, = шах(с_/+1, е,); (7.36а)

е_х = Ь_ь е₁ = 4 + Ъ» / = е, - с,; & = 0, =/₊₁ - 6_/+1; А, = 0, й_ж = - е_{. (7.366)

Таким образом, при данных случайных наборах чисел в колонках А и В и кли­ентам приходилось стоять в очереди (колонка С), и система простаивала в ожида­нии клиента (колонка Н).

№ п/п	А	В	С	В	Е	Г	О	н

 

При моделировании систем такого вида прежде всего возникает вопрос, какое среднее время приходится стоять в очереди? Ответить на него, кажется, несложно — надо найти

1 = й+.» + &,) (7.37)

п

/т

Рис. 7.6. Схематическое изображение плотности вероятности распределения времени между появлениями клиентов в системе массового обслуживания

в некоторой серии испытаний. Аналогично можно найти среднее значение величи­ны А. Труднее ответить на вопрос о достоверности полученных результатов; для этого надо провести несколько серий испытаний и использовать стандартные ме­тоды математической статистики (часто уместна обработка с помощью распреде­ления Стьюдента).

Более сложный вопрос — каково распределение случайных величин Си Нпри заданных распределениях случайных величин А и В? Качественный ответ на него можно попытаться получить, построив соответствующие гистограммы по резуль­татам моделирования. Затем делается некоторая гипотеза о виде распределения и используются один или несколько статистических критериев проверки достовер­ности этой гипотезы.

Располагая функцией распределения (пусть даже эмпирической, но достаточно надежной), можно ответить на любой вопрос о характере процесса ожидания в очереди. Например: какова вероятность прождать дольше т минут? Ответ будет получен, если найти отношение площади криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком плотности распределения, прямыми х=тиу = 0, к площади всей фигуры.

Контрольные вопросы

1. Что такое «случайный процесс»?

2. Каковы принципы компьютерного генерирования равномерно распределен­ных случайных чисел?

3. Как можно получить последовательность случайных чисел с пуассоновским законом распределения?

4. Что такое «система массового обслуживания»? Приведите примеры.

5. В чем заключается метод Монте-Карло вычисления площадей плоских фигур? объемов тел?

6. Какие примеры случайных процессов Вы можете привести?