Темы для рефератов
Принципы компьютерной генерации последовательностей случайных чисел и статистические критерии определения свойств последовательностей. 2. Методы статистической обработки результатов, полученных при компьютерном моделировании случайных процессов. Тема семинарских занятий Получение последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения. Лабораторная работа Общие рекомендации 1. При выполнении данной работы необходима генерация длинных последовательностей псевдослучайных чисел с заданным законом распределения вероятностей. Ее можно основывать на стандартном датчике равномерно распределенных случайных чисел, встроенном в применяемую систему программирования, с использованием одной из процедур пересчета данной последовательности в последовательность с нужным законом распределения (например, процедуру «отбор —отказ»). 2. Одна из центральных задач при моделировании случайных процессов — нахождение характеристик случайных величин, являющихся объектом моделирования. Главная такая характеристика — функция распределения. Ее вид можно качественно оценить по гистограмме, построенной в ходе моделирования, а гипотезу о функциональной форме проверить р помощью одного из стандартных критериев, используемых в математической статистике (например, критерия %2). Однако это не всегда целесообразно, особенно если в задаче требуется определить лишь некоторые характеристики случайной величины — чаще всего среднее значение и дисперсию. Их можно найти без моделирования самой функции распределения. При этом статистическая оценка достоверности результатов является обязательной. 3. Результаты моделирования уместно выводить на экран компьютера в следующем виде: в виде таблиц значений рассчитываемой величины (как правило, в нескольких выборках), в виде гистограмм распределения случайных величин, построенных в ходе моделирования. 4. Целесообразно там, где это возможно, сопровождать имитационное моделирование визуальным отображением соответствующего процесса на экране компьютера (процесс формирования очереди, рождение и исчезновение объектов в задачах моделирования популяций и т.д.). Примерное время выполнения 16 часов. Задание к лабораторной работе Произвести имитационное моделирование указанного случайного процесса и оценить достоверность полученных результатов, пользуясь статистическими критериями. Варианты заданий Вариант 1 Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей. Оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин # и к. Вариант 2 Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Вариант 3 Провести то же моделирование при нормальном законе распределения вероятностей входных событий: прихода покупателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Вариант 4 В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), очередь начинает расти, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Построить зависимость между величинами (атах, Ьтах), отражающую границу указанной критической ситуации, при равновероятном распределении входных событий. Вариант 5 На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулируется и требуется звонить снова. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими. Вариант 6 Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки сделать заказ обе телефонистки заняты, формируется очередь. Вариант 7 Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделировать ситуацию: три абонента пытаются дозвониться до одного и того же владельца номера и в случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное по длительности) время. Какова вероятность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет сделать это за определенное время Г? Вариант 8 Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, но считать, что, если в момент попытки связаться телефон абонента занят, формируется очередь. Вариант 9 На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, — больными с травмами средней тяжести (в порядке их поступления) и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий. Вариант 10 Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, при условии, что в травмопункте работают два врача, а больные делятся не на три, а на две категории. Вариант 11 Одна ткачиха обслуживает группу станков, осуществляя по мере необходимости краткосрочное вмешательство, длительность которого — случайная величина. Какова вероятность простоя сразу двух станков? Как велико среднее время простоя одного станка? Вариант 12 Смоделировать ситуацию, описанную в предыдущем варианте, если группу станков совместно обслуживают две ткачихи. Вариант 13 В городском автохозяйстве две ремонтные зоны. Одна — обслуживает ремонты краткой и средней продолжительности, другая — средней и долгой (т.е. среднесрочный ремонт может осуществлять каждая из зон). По мере поломок в автохозяйство доставляют транспорт; промежуток времени между доставками — случайная пуассоновская величина. Продолжительность ремонта — случайная величина с нормальным законом распределения. Смоделировать описанную систему. Каковы средние времена ожидания в очереди транспорта, требующего соответственно краткосрочного, среднесрочного и длительного ремонта? Вариант 14 Реализовать имитационную модель статистического моделирования доя решения задачи Бюффона (XVIII в.). Автор аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми Ь, бросается наугад игла длиной /, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну ^ ~ 21 прямую, определяется формулой Р = —г. кь Эта задача дала способ имитационному определению числа п. Действительно, если Ь = 2/, то Р = —. В ходе моделирования выполнить этот расчет. Вариант 15 Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0, 1] меньше 0, 5, то делается шаг вправо на расстояние А, в противном случае — влево. Распределение случайных чисел принять равновероятным. Решить задачу: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на п шагов? Вариант 16 В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через п шагов в начальную точку? Вариант 17 Точка хаотически блуждает на плоскости по узлам квадратной сетки с возможностью делать с равной вероятностью шаги влево-вправо-вверх-вниз на фиксированный (за один ход) шаг. Движение происходит в замкнутом прямоугольном объеме, и при соприкосновении со стенкой происходит зеркальное отражение от нее. Ответить в ходе моделирования на вопрос: как связана частота посещения каждого узла с расстоянием от него до того узла, из которого начинается движение? Смоделировать ту же ситуацию, что и в задании к варианту 17, при условии неограниченной области блуждания и ответить на заданный вопрос. Вариант 19 Смоделировать полет пчелы. На плоскости (поляне) случайным образом растут медоносные растения с заданной концентрацией (на 1 м2). В центрё — улей, из которого вылетает пчела. Пчела может долететь от одного растения до любого другого растения, но вероятность выбора монотонно уменьшается с увеличением расстояния между растениями (по некоторому закону). Какова вероятность посещения пчелой конкретного заданного растения за заданное количество элементарных перелетов? Вариант 20 Реализовать модель плоского броуновского движения п частиц в прямоугольнике. Частицы считать шариками конечного размера. Удары частиц друг о друга и о стенки моделировать как абсолютно упругие. Определить в этой модели зависимость давления газа на стенки от числа частиц. Вариант 21 Разработать в деталях и реализовать модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде. В начальный момент времени каждый газ занимает половину сосуда. Изучить с помощью этой модели зависимость скорости диффузии от различных входных параметров. Вариант 22 Реализовать имитационную модель системы «хищник—жертва» по следующей схеме. «Остров» размером 20 х 20 заселен дикими кроликами, волками и волчицами. Имеется по несколько представителей каждого вида. Кролики в каждый момент времени с одинаковой вероятностью 1/9 передвигаются в один из восьми соседних квадратов (за исключением участков, ограниченных береговой линией) или просто сидят неподвижно. Каждый кролик с вероятностью 0, 2 превращается в двух кроликов. Каждая волчица передвигается случайным образом, пока в одном из соседних восьми квадратов не окажется кролик, за которым она охотится. Если волчица и кролик оказываются в одном квадрате, волчица съедает кролика и получает одно очко. В противном случае она теряет 0, 1 очка. Волки и волчицы с нулевым количеством очков умирают. В начальный момент времени все волки и волчицы имеют 1 очко. Волк ведет себя подобно волчице до тех пор, пока в соседних квадратах не исчезнут все кролики; тогда, если волчица находится в одном из восьми близлежащих квадратов, волк гонится за ней.
|
