Знаменатель в уравнении отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции; я и Ь — параметры модели

Исходные параметры модели:

• Я — скорость воспроизводства;

• ТУо — начальная численность популяции;

• а — параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.

Характерная черта эволюции при Ь—\— выход численности популяции на стаци­онарное значение при любых значениях других параметров. Однако в природе так бывает не всегда, и более общая модель при Ь ф 1 отражает другие, более сложные, но реально существующие виды эволюции. Этих видов модель описывает четыре:

1) монотонное установление стационарной численности популяции;

2) колебательное установление стационарной численности популяции;

3) устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;

4) случайные изменения численности популяции без наличия явных законо­мерностей (динамический хаос).

Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением. Матема­тическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравне­ний. Наиболее известна так называемая логистическая модель

 

кт

----- = гЫ

к-ы

(7.32)

Л

 

Исходные параметры модели:

• г — скорость роста численности популяции в отсутствие конкуренции;

• К — предельное значение численности популяции, при котором скорость ро­ста становится равной нулю;

• ТУо — начальная численность популяции.

Межвидовая конкуренция. В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть и И₂ — численности конкурирующих попу­ляций. Модель (называемая также моделью Лотки—Вольтерры) выражается урав­нениями

„ К^-Ъ-а_]2Х₂

= г, ЛГ,

Л ¹¹ к _х

^ =Г₂М₂^К 2 -«21^1 (7.33)

сИ К₂

Содержательный смысл параметров можно понять из сравнения с предыдущей моделью. Дополнительные параметры а, ₂ и а_2] отражают интенсивность межвидо­вой конкуренции.

Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции, — при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них.

Система «хищник-—жертва». В этой системе ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищника», для которого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом.

Введем обозначения: С — численность популяции хищника, N — численность по­пуляции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями:

—- = ^N -а С7У, аI

В первое уравнение заложен следующий смысл: в отсутствие хищников (т. е. при С = 0) численность жертв растет экспоненциально со скоростью г, так как модель