Методические указания и решение типовых задач. Причинность, регрессия, корреляция.Исследование объек­тивно существующих связей между явлениями – важнейшая задача теории статистики

 

Причинность, регрессия, корреляция. Исследование объек­тивно существующих связей между явлениями – важнейшая задача теории статистики.

Социально-экономические явления представляют собой ре­зультат одновременного воздействия большого числа причин. При изучении этих явлений необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных. В основе первого этапа статистического изучения связей лежит качественный ана­лиз явления, связанный с анализом его природы методами эко­номической теории, социологии, конкретной экономики.

Второй этап – построение модели связи. Он базируется на методах статистики: группировки, средних величин, таблиц и т.д. Третий последний этап – интерпретация результатов, вновь свя­зан с качественными особенностями изучаемого явления. Статис­тика разработала множество методов изучения связей, выбор кон­кретного из которых зависит от цели исследования и от постав­ленной задачи. Связи между признаками и явлениями, ввиду их большого разнообразия, классифицируются по ряду оснований. Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обусловливающие изменение других, свя­занных с ними признаков, называют факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными. Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, по на­правлению и по аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную связь, и стохасти­ческую зависимость. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответ­ствует одно и только одно значение результативного признака.

Если причинная зависимость проявляется не в каждом от­дельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблю­дений, то такая зависимость называется стохастической. Част­ным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативно­го признака обусловлено изменением факторных признаков.

По степени тесноты связи различают количественные крите­рии оценки тесноты связи (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Количественные критерии оценки тесноты связи

 

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До |±0, 3| ±0, 3| - |±0, 5| |±0, 5| - |±0, 7| |±0, 7| - |±1, 0|	практически отсутствует слабая умеренная сильная

 

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений фак­торного признака происходит увеличение или уменьшение зна­чений результативного. Например, увеличение степени механи­зации труда способствует росту рентабельности строительного производства. В случае обратной связи значения результативно­го признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, с увеличе­нием уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции.

По аналитическому выражению выделяют связи прямоли­нейные (или просто линейные) и нелинейные (криволиней­ные). Если статистическая связь между явлениями приближен­но выражена уравнением прямой линии, то ее называют линей­ной связью; если же она выражена уравнением какой-либо кри­вой линии (параболы, гиперболы: степенной, показательной, экспоненциальной и т.д.), то такую связь называют нелинейной или криволинейной.

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляции и регрессии.

Метод приведения параллельных данных основан на со­поставлении двух или нескольких рядов статистических вели­чин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Сравним изменения двух величин:

x
y

 

Мы видим, что с увеличением величины х величина у также возрастает. Можно сделать предположение, что связь между ними прямая и что ее можно описать или уравнением прямой, или уравнением параболы второго порядка.

Статистическую связь между двумя признаками можно изоб­разить графически и по графику судить о наличии, направлении и форме связи. На оси абсцисс откладываются значения фактор­ного признака, на оси ординат – результативного. На графике откладываются все единицы, обладающие определенными зна­чениями х и у.

Соединив полученные точки нанесенных на график значений х и у прямыми линиями, получается ломаная, называемая «Ло­маная регрессии». Число точек ломаной регрессии строго долж­но соответствовать числу единиц наблюдения, по которым даны значения обоих признаков. Кривая позволит судить о форме свя­зи, об аналитическом ее выражении.

Парная регрессия характеризует связь между двумя призна­ками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой ;

параболы ; (9.1)

гиперболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически. Однако существуют более общие указания, позво­ляющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки воз­растают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о наличии линейной связи между ними, а при обратной связи – гиперболической. Если результативный при­знак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или сте­пенная функции.

Оценка параметров уравнения регрессии а₀, а₁ (а₂ – в урав­нении параболы второго порядка) осуществляется методом наи­меньших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахож­дении параметров модели (а₀ и а₁), при котором минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) зна­чений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии:

.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

(9.2)

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр а₀ показывает усреднен­ное влияние на результативный признак неучтенных (не выде­ленных для исследования) факторов; параметр а₁(а в уравнении параболы и а₂) – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Пример. По данным о сумме активов и кредитных вложений коммерческих банков Белоруссии необходимо определить направ­ление и тесноту связи между признаками. Данные в табл. 9.2 представлены после предварительной их обработки методом приведения параллельных данных. Сопоставив полученные ряды данных х и у, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение кредитных вложений уве­личивает сумму активов коммерческих банков. Исходя из этого можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и ее можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа (рис.9.1).

Рис. 9.1.Зависимость суммы активов коммерческих банков

от кредит­ных вложений

 

Анализ рис. 9.1 показывает наличие близкой к прямолиней­ной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

Определим параметры уравнения прямой на основе метода наименьших квадратов, решив систему нормальных уравнений (9.2). Исходные данные и расчетные показатели представим в табл. 9.2.

.

Отсюда: .

Таблица 9.2

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости суммы активов и кредитных вложений коммерческих

банков Белоруссии

 

№ п/п	Банк	Кредит­ные вложения, млрд. нац. руб. х	Сумма активов, млрд. нац. руб. у	х2	ху
	Комплексбанк					1140, 6
	Белорусбанк					1502, 5
	Приорбанк					1632, 9
	Белбизнесбанк					2007, 3
	Бел					2191, 9
	Промстройбанк					2862, 4
	Белагропромбанк					3419, 4
Итого					14757, 0

 

Следовательно, с увеличением кредитных вложений на 1 млрд. нац. руб. сумма активов возрастет в среднем на 1, 0429 млрд. нац. руб.

Модель регрессии может быть построена как по индивиду­альным значениям признака (табл. 9.2), так и по сгруппирован­ным данным (табл. 9.3). Для выявления связи между признаками по достаточно большому числу наблюдений используется корре­ляционная таблица. В корреляционной таблице можно отобра­зить только парную связь, т.е. связь результативного признака с одним фактором, и на ее основе построить уравнение регрессии и определить показатели тесноты связи. Само уравнение регрес­сии может иметь линейную, параболическую и другие формы. При определении параметров модели регрессии и коэффициен­тов связи по корреляционной таблице не теряется информация о связи, обусловленная усреднением данных. Для составления кор­реляционной таблицы парной связи статистические данные не­обходимо предварительно сгруппировать по обоим признакам (х и у), затем построить таблицу, по строкам в которой отложить группы результативного, а по столбцам - группы факторного признаков.

Корреляционная таблица (пример табл. 9.3) дает общее пред­ставление о направлении связи. Если оба признака (х и у) рас­полагаются в возрастающем порядке, а частоты (f_xу) сосредото­чены по диагонали сверху вниз направо, то можно судить о прямой связи между признаками. В противном случае – об об­ратной. О тесноте связи между признаками х и у по корреляци­онной таблице можно судить по кучности расположения частот вокруг диагонали (насколько заполнены клетки таблицы в сторо­не от нее). Если клетки заполнены большими цифрами, то связь слабая. Чем ближе частоты (f_xу) располагаются к одной из диа­гоналей, тем теснее связь. Если в расположении частот (f_xу) нет системности, то можно судить об отсутствии связи.

Рассмотрим анализ статистических данных по корреляцион­ной таблице на следующем примере.

Пример. По данным группировки 40 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции построим уравнение связи (см. табл. 9.3).

Решение. Анализ таблицы показывает, что частоты (f_xу) рас­положены по диагонали сверху вниз, что свидетельствует о на­личии прямой связи между объемом произведенной продукции и балансовой прибылью. Также наблюдаются концентрация ча­стот (f_xy) вокруг главной диагонали и незаполненность оставших­ся клеток, поэтому можно предположить достаточно тесную связь между рассматриваемыми признаками.

Расчет и анализ средних значений у, по группам факторных признаков х подтверждает наличие прямолинейной зависимости между х и у.

Считая, что зависимость описывается уравнением прямой, коэффициенты а₀ и а₁ определим из системы нормальных урав­нений вида:

Таблица 9.3

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии по данным группировки предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли в I квартале 1998 г. (цифры условные)

 

Балансовая прибыль, млн. руб. у	Объем произведенной продукции, млн. руб., х
x’   y’	300-400	400-500	500-600	600-700	700-800	fy	yfy	xyfy
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
fx	-
xfx	-							-	-
x2fx	-							-	-
	-	25, 0	37, 2	42, 6	51, 7	55, 0	-	-	-

 

Так как значения признаков у и х заданы в определенных интервалах, то для каждого интервала сначала необходимо определить середину интервала (х и у), а затем уже по ним строить Уравнение регрессии. Покажем промежуточные расчеты:

по первой группе

;

yf_y = 15 · 2 = 30;

xf_x = 350 · 8 = 2800;

xyf_y = 350 · 15 · 2 = 10500;

x²f_x = 350² · 8 = 980000.

по второй группе

;

yf_y = 25 · 5 = 125;

xf_x = 450 · 9 = 4050;

xyf_y = 350 · 25 · 4 + 450 · 25 · 1 = 46250;

x²f_x = 450² · 9 = 1822500.

Аналогичным образом получены все остальные расчетные значения в таблице.

Таким образом, подставив в систему уравнений итоговые значения из табл. 9.3, получим:

Отсюда: а₀ = -0, 9; а₁ = 0, 08.

Следовательно: = -0, 9 + 0, 08х.

Параметр уравнения регрессии а, = 0, 08 показывает, что с увеличением объема выпускаемой продукции на 1 млн. руб. ба­лансовая прибыль возрастает на 80 тыс. руб.

Если связь между признаками у и х криволинейная и описы­вается уравнением параболы второго порядка:

,

то система нормальных уравнений имеет вид:

(9.3)

Оценка обратной зависимости между х и у, когда с увеличе­нием (уменьшением) х уменьшается (увеличивается) значение результативного признака у, может быть осуществлена на основе равнения гиперболы вида:

.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы следующая:

(9.4)

Множественная (многофакторная) регрессия. Изучение связи между тремя и более связанными между собой признака­ми носит название множественной (многофакторной) регрес­сии, описываемой функцией вида:

.

Построение моделей множественной регрессии включает этапы:

1) выбор формы связи (уравнения регрессии);

2) отбор факторных признаков;

3) обеспечение достаточного объема совокупности для полу­чения несмещенных оценок.

Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, кото­рые в определенной степени будут описывать эти связи. Посколь­ку уравнение регрессии строится главным образом для объясне­ния и количественного выражения взаимосвязей, оно должно хорошо отражать сложившиеся между исследуемыми фактора­ми фактические связи.

Практика построения многофакторных моделей взаимосвязи показывает, что все реально существующие зависимости между социально-экономическими явлениями можно описать, исполь­зуя пять типов моделей:

1) линейная: ;

2) степенная: ;

3) показательная: ; (9.5)

4) параболическая: ;

5) гиперболическая: .

Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации. Нелинейные формы зависимости приводятся к линейным путем линеариза­ции.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения мно­жественной регрессии являются отбор и последующее включе­ние факторных признаков.

Проблема отбора факторных признаков для построения мо­делей взаимосвязи может быть решена на основе эвристических (интуитивно-логических) или многомерных статистических ме­тодов анализа.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных призна­ков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный ана­лиз). Сущность метода шаговой регрессии заключается в после­довательном включении факторов в уравнение регрессии и пос­ледующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, насколько умень­шается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R²). Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, став­ших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента.

При построении моделей регрессии студент может столкнуть­ся и с проблемой мультиколлинеарности, под которой понима­ется тесная зависимость между факторными признаками, вклю­ченными в модель. Мультиколлинеарность существенно искажа­ет результаты исследования.

Одним из индикаторов определения наличия мультиколлине­арности между факторными признаками является превышение величины парного коэффициента корреляции 0, 8 ().

Устранение мультиколлинеарности может реализовываться через исключение из корреляционной модели одного или несколь­ких линейно-связанных факторных признаков или преобразова­нием исходных факторных признаков в новые, укрупненные фак­торы.

Пример. По данным о сумме активов (у), кредитных вложе­ний (х₁) и величине собственного капитала (х₂) коммерческих банков Белоруссии построить множественное уравнение связи. Связь предполагается линейной. Расчетная таблица для опреде­ления параметров уравнения регрессии представлена в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

 

Банк	Сумма активов млрд. нац. руб. у	Кредит­ные вложения, млрд. нац. руб. х1	Соб­ствен­ный капитал, млрд. нац. руб. х2	ух1		у2	х1х2		ух2
Итого

 

 

Решение

.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(9.6)

Отсюда: a₀ = -443, 4; a₁ = 0, 0368; a₂ = 16, 77;

.

Расчеты показали, что с увеличением кредитных вложений на 1 млрд. нац. руб. и собственного капитала коммерческих бан­ков Белоруссии на 1 млрд. нац. руб. стоимость их активов возра­стает соответственно на 0, 0368 и 16, 77 млрд. нац. руб.

Оценка существенности связи. Принятие решений на ос­нове уравнения регрессии. Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с про­верки значимости каждого коэффициента регрессии.

Значимость коэффициента регрессии осуществляется с по­мощью t-критерия Стьюдента:

, (9.7)

где – дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статистически значимым, если t > t_kp (α; v = n – k – 1), где α – уровень значимости, v = n – k – 1 – число степеней свободы.

Величина может быть определена по выражению

, (9.8)

где – дисперсия результативного признака;

k – число факторных признаков в уравнении.

Более точную оценку величины дисперсии можно получить по формуле

, (9.9)

где R_i – величина множественного коэффициента корреляции по фактору х, с остальными факторами.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помо­щью расчета F-критерия и величины средней ошибки аппрокси­мации ()

Значение средней ошибки аппроксимации, определяемой по формуле

, (9.10)

не должно превышать 12-15%.

Интерпретация моделей регрессий осуществляется метода­ми той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явле­ния. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки зависимости вхо­дящих в модель факторных признаков, т.е. с выяснения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше ве­личина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние дан­ного признака на моделируемый. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный при­знак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличени­ем данного фактора результативный признак возрастает. Если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается. Анализ модели по данным табл. 9.4. свидетельствует о том, что увеличение кредитных вло­жений и собственного капитала влечет рост стоимости активов коммерческих банков.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности, опреде­ляемые по формуле

Частный коэффициент детерминации показывает, насколь­ко процентов вариация результативного признака объясняется ва­риацией 1-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии. Он рассчитывается по формуле

, (9.11)

где – среднее значение соответствующего факторного признака;

– среднее значение результативного признака;

а_i – коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процен­тов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Рассчитаем коэффициент эластичности по данным табл. 9.4:

;

.

Это означает, что при увеличении кредитных вложений и собственного капитала на 1% стоимость активов возрастает со­ответственно на 0, 02 и 1, 19%.

Частный коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии. Он рассчитывается по формуле

, (9.12)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

– соответствующий коэффициент уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

По данным табл. 9.4 рассчитаем частный коэффициент детерминации для фактора х₁ – кредитные вложения (млрд. нац. руб.):

;

;

;

;

;

;

;

;

, что свидетельствует о том, что 2% вариации стоимости активов объясняются изменением величи­ны кредитных вложений.

Для фактора х₂ (собственный капитал):

.

На 88% изменение стоимости активов объясняется измене­нием собственного капитала коммерческих банков Белоруссии.

Множественный коэффициент детерминации (R2), пред­ставляющий собой множественный коэффициент корреляции в квадрате, показывает, какая доля вариации результативного при­знака обусловлена изменением факторных признаков, входящих в многофакторную регрессионную модель.

Для более точной оценки влияния каждого факторного при­знака на моделируемый используется Q-коэффициент, определя­емый по формуле

, (9.13)

где – коэффициент вариации соответствующего факторного признака.

По данным табл. 9.4:

– для фактора х₁ – кредитные вложения –

;

;

.

– для фактора х₂ – собственный капитал –

;

.

Вывод: наиболее существенно влияние фактора х₂.

Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи. Оценка существенности корреляции. Изме­нение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помо­щью линейного коэффициента корреляции.

В статистической теории разработаны и на практике приме­няются различные модификации формул расчета данного коэф­фициента:

.

Производя расчет по итоговым значениям исходных перемен­ных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

. (9.14)

Линейный коэффициент корреляции может быть также вы­ражен через дисперсии слагаемых:

. (9.15)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффици­ентом регрессии существует определенная зависимость, которую можно математически выразить следующей формулой:

, (9.16)

где а_i – коэффициент регрессии в уравнении связи;

– среднее квадратическое отклонение соответствующего факторного признака

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: -1 < r < 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно представить в табл.9.5.

Таблица 9.5

Оценка линейного коэффициента корреляции

 

Значение линейно­го коэффициента связи	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением X увеличивается У
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением X уменьшается У, и наоборот
r = 1	Функцио­нальная	Каждому значению факторного при­знака строго соответствует одно значение результативного признака

 

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяет­ся на основе t-критерия Стьюдента:

. (9.17)

Если расчетное значение t_p > t_kp (табличное), то гипотеза Н₀: r_ух = 0 отвергается, что свидетельствует о значимости линей­ного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статисти­ческой существенности зависимости между х и у.

Пример. По данным табл. 9.4 оценить тесноту связи между стоимостью активов (у) и кредитными вложениями (х₁), исполь­зуя различные модификации расчета линейного коэффициента корреляции. Проверить его значимость.

Решение.

;

;

;

;

;

. Связь прямая, сильная.

По формуле (9.14):

Результаты идентичны. Проверим значимость :

;

α = 0, 05; ν = n – 1 = 6; t_kp = 2, 447.

Так как t_p = 3, 72 > t_kp = 2, 447, то коэффициент корреляции значим.

Теснота связи при криволинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение. Вычислим эмпири­ческое корреляционное отношение:

.

По данным табл. 9.3, а также рассчитав и , , можно определить эмпирическое корреляционное отношение. Для этого построим вспомогательную таблицу:

 

yi			fx
25, 0	-15, 5	240, 25		1922, 00
37, 2	-3, 3	10, 89		98, 01
42, 6	2, 1	4, 41		61, 74
51, 7	11, 2	125, 44		752, 64
55, 0	14, 5	210, 25		630, 75
Итого	-	-		3465, 14

 

Следовательно, .

Эмпирическое корреляционное отношение . Связь сильная.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативными и несколь­кими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется по формуле

,

где δ ² – дисперсия теоретических значений результативного признака, рассчи­танная по уравнению множественной регрессии;

– остаточная дисперсия;

σ ² – общая дисперсия результативного признака.

В случае оценки тесноты связи между результативным (У) и двумя факторными признаками (х₁ и х₂) множественный коэф­фициент корреляции можно определить по формуле

, (9.18)

где r – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Проверка значимости коэффициента множественной корре­ляции осуществляется на основе F-критерия Фишера:

(9.19)

Гипотеза Н₀ о незначимости коэффициента множественной корреляции (Н₀: R = 0) отвергается, если F_p > F_kp (α; v₁ = 2; v₂ = n – 3).

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пре­делах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 > R < 1.

Пример. По данным табл. 9.4 рассчитать коэффициент мно­жественной корреляции и проверить его значимость.

Решение.

,

где – парные коэффициенты корреляции между признаками

Связь сильная, факторы х₁ и х₂ практически полностью обуслов­ливают величину у.

Проверим значимость коэффициента множественной корре­ляции.

Гипотеза о незначимости коэффициента корреляции от­вергается, так как F_k = 6, 94 (α = 0, 05, v₁ = 2, v₂ = n – 3=4). F_p= 18, 51 > F_kp = 6, 94.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х₁ и х₂ при фиксирован­ном значении других факторных признаков, т.е. когда влияние х₃ исключается (в этом случае оценивается связь между х₁ и х₂ в «чистом виде»).

В случае зависимости у от двух факторных признаков х₁ и х₂ коэффициент частной корреляции принимает вид:

(9.20)

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе пере­менными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – x₁.

Пример. По данным табл. 9.4 рассчитать частные коэффици­енты корреляции и проверить их значимость.

Решение

Методы изучения связи социальных явлений. Важной задачей статистики является разработка методики статистичес­кой оценки социальных явлений, которая осложняется тем, что многие социальные явления не имеют количественной оценки.

Количественная оценка связей социальных явлений осуще­ствляется на основе расчета и анализа целого ряда коэффициен­тов.

Коэффициент ассоциации и контингенции. Для определе­ния тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффици­енты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каж­дое из которых должн