Методические указания и решение типовых задач

 

Тема «Выборочное наблюдение» является одной из централь­ных в курсе теории статистики. Это обусловлено прежде всего взаимосвязью данной темы с другими темами, в особенности, со статистическим наблюдением, статистическими показателя­ми, таблицами, графиками и др. Основываясь на фундаменталь­ных теоретических положениях, в частности, предельных тео­ремах закона больших чисел (Чебышева-Ляпунова, Бернулли и др.), выборочное наблюдение тесно связано с курсами матема­тической статистики и теории вероятностей. Поэтому освоение теоретического материала, умение правильно решить практи­ческие задачи по данной теме, грамотно интерпретировать полученные результаты служат необходимым условием успеш­ного изучения курса теории статистики в целом и связанных с ней наук.

Формирование набора задач данной главы обусловлено практическими вопросами, требующими своего решения при организации выборочного наблюдения и анализе его резуль­татов. Такими вопросами являются определение способа от­бора и процедуры выборки, вычисление ошибок выборки и построение доверительных интервалов выборочных характе­ристик, а также расчет необходимого объема выборки. Пред­ложенные в данной теме задания охватывают все эти вопросы с учетом особенностей формирования выборочной совокупно­сти.

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентатив­ность (представительность) выборочной совокупности. Различа­ет среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида оши­бок связаны следующим соотношением:

Δ = tμ,

где Δ – предельная ошибка выборки;

μ – средняя ошибка выборки;

t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня веро­ятности (некоторые значения t приведены в приложении).

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцирование в зависимости от способа отбора и процедуры выборки. Так, при случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле

,

при бесповторном: ,

где σ ² – выборочная (или генеральная) дисперсия;

σ – выборочное (или генеральное) среднее квадратическое отклонение;

n – объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности.

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. Например, для вы­борочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

,

где и – генеральная и выборочная средние соответственно;

– предельная ошибка выборочной средней.

Покажем практическое применение рассмотренной выше методики на следующих примерах.

Задача 1. При проверке веса импортируемого груза на та­можне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятнос­тью 0, 997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.

Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так, при р = 0, 997, t =3

.

Определим пределы генеральной средней:

30 – 0, 84 ≤ ≤ 30 + 0, 84, или 29, 16 ≤ ≤ 30, 84.

Следовательно, с вероятностью 0, 997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29, 16 до 30, 84 г.

Задача 2. В городе проживает 250 тыс. семей. Для определе­ния среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:

Число детей в семье
Количество семей

 

С вероятностью 0, 954 найдите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение. Вначале на основе имеющегося распределения се­мей определим выборочные среднюю и дисперсию:

Число детей в семье хi	Количество семей fi	xi f i	xi -
			-1, 5	2, 25
			-0, 5	0, 25
			0, 5	0, 25
			1, 5	2, 25
			2, 5	6, 25
			3, 5	12, 25
Итого			-	-

 

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что р = 0, 954 t =2).

.

Следовательно, пределы генеральной средней:

.

Таким образом, с вероятностью 0, 954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1, 5, т. е. в среднем на каждые две семьи приходятся три ребенка.

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

,

где – доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответ­ствующих единиц к объему выборки.

Тогда, например, при собственно-случайном повторном от­боре для определения предельной ошибки выборки использует­ся следующая формула:

.

Соответственно при бесповторном отборе

Пределы доли признака в генеральной совокупности р выг­лядят следующим образом:

w – Δ _W ≤ p ≤ w +Δ _W.

Задача 3. С целью определения средней фактической про­должительности рабочего дня в государственном учреждении с численностью служащих 480 человек в июне 1996 г. была про­ведена 25%-ная механическая выборка. По результатам наблю­дения оказалось, что у 10% обследованных потери времени до­стигали более 45 мин. в день. С вероятностью 0, 683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности:

n = 480 · 0, 25 = 120 человек.

Выборочная доля w равна по условию 10%. Учитывая, что показатели точности механической и собственно-случайной бес­повторной выборки определяются одинаково, а также то, что при р = 0, 683 t = 1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

.

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

10 – 2, 4 ≤ р ≤ 10 + 2, 4, или 7, 6 ≤ р ≤ 12, 4.

Таким образом, с вероятностью 0, 683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями рабочего времени бо­лее 45 мин. в день находится в пределах от 7, 6 до 12, 4 %.

Ошибки и пределы генеральных характеристик при других способах формирования выборочной совокупности определяют­ся на основе соответствующих формул, отражающих особенно­сти этих видов выборки. Например, в случае типической выбор­ки показателем вариации является средняя из внутригрупповых дисперсий , при серийной выборке – межгрупповая (межсе­рийная) дисперсия δ ² и т.д. Кроме того, в последнем случае вместо объема выборочной совокупности n используется показа­тель числа серий r.

Следовательно, для типической выборки средняя ошибка вычисляется по формулам:

- при отборе, пропорциональном объему типических групп:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор);

- при отборе, пропорциональном вариации признака (не про­порциональных объему групп):

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где N_i и n_i – объемы i-й типической группы и выборки из нее соответственно;

– групповые дисперсии.

При серийной выборке средняя ошибка определяется сле­дующим образом:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где R – число серий в генеральной совокупности;

– межгрупповая (межсерийная) дисперсия;

r – число серий в выборочной совокупности.

Задача 4. В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние по районам составили соответ­ственно 14, 5 ц/га; 16; 15, 5; 15 и 14 ц/га. С вероятностью 0, 954 найдите пределы урожайности во всей области.

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

.

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповтор­ной выборки (t = 2, р = 0, 954):

.

Следовательно, урожайность в области с вероятностью 0, 954 будет находиться в пределах:

15 – 1, 7 ≤ ≤ 15 + 1, 7, или 13, 3 ц/га ≤ ≤ 16, 7 ц/га.

Формулы необходимого объема выборки для различных спо­собов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки.

Приведем наиболее часто применяемые на практике выраже­ния необходимого объема выборки:

- собственно-случайная и механическая выборка:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор);

- типическая выборка:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор);

- серийная выборка:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор).

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности.

Задача 5. В 100 туристических агентствах города предпола­гается провести обследование среднемесячного количества реа­лизованных путевок методом механического отбора. Какова дол­жна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0, 683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:

.

Задача 6. С целью определения доли сотрудников коммер­ческих банков области в возрасте старше 40 лет предполага­ется организовать типическую выборку пропорционально чис­ленности сотрудников мужского и женского пола с механи­ческим отбором внутри групп. Общее число сотрудников бан­ков составляет 12 тыс. человек, в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что сред­няя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0, 997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической вы­борки:

Вычислим объем отдельных типических групп:

;

.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупно­сти сотрудников коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 319 мужчин и 231 женщина.

Задача 7. В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональ­ные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0, 954 рассчитайте необходимое коли­чество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.

Решение. Рассчитаем необходимое количество бригад на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

.