Матрица парных коэффициентов корреляций

	y	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)	x (5)
y	1.00	0.43	0.37	0.40	0.58	0.33
x (1)	0.43	1.00	0.85	0.98	0.11	0.34
x (2)	0.37	0.85	1.00	0.88	0.03	0.46
x (3)	0.40	0.98	0.88	1.00	0.03	0.28
x (4)	0.58	0.11	0.03	0.03	1.00	0.57
x (5)	0.33	0.34	0.46	0.28	0.57	1.00

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x ⁽⁴⁾ — количество удобрений, расходуемых на 1 га ().

В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x ⁽¹⁾) и числом орудий поверхностной обработки почвы .

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции и . Учитывая тесную взаимосвязь показателей x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ и x ⁽³⁾, в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:

(1.8)

F_набл = 121.

В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения .

Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации ; исправленная оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение -критерия F_набл = 121.

Уравнение регрессии значимо, т.к. F_набл = 121 > F_kp = 2, 85 найденного по таблице F -распределения при a=0, 05; n₁=6 и n₂=14.

Из этого следует, что Q¹ 0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения q _j (j = 0, 1, 2,..., 5) не равен нулю.

Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0: q_j=0, где j =1, 2, 3, 4, 5, сравнивают критическое значение t _kp = 2, 14, найденное по таблице t -распределения при уровне значимости a=2 Q =0, 05 и числе степеней свободы n=14, с расчетным значением . Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x ⁽⁴⁾, так как ½ t ₄½ =2, 90 > t _kp=2, 14.

Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x ⁽¹⁾ и x ⁽⁵⁾. Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x ⁽¹⁾) и средствами оздоровления растений (x ⁽⁵⁾) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.

Исключим из модели переменную x ⁽¹⁾, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение ½ t ₁½ =0, 01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:

 

 

Полученное уравнение значимо, т.к. F_набл = 155 > F_kp = 2, 90, найденного при уровне значимости a=0, 05 и числах степеней свободы n₁=5 и n₂=15 по таблице F -распределения, т.е. вектор q¹ 0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии при x ⁽⁴⁾. Расчетные значения ½ t _j½ для остальных коэффициентов меньше t _кр = 2, 131, найденного по таблице t -распределения при a=2 Q =0, 05 и n=15.

Исключив из модели переменную x ⁽³⁾, которой соответствует минимальное значение t ₃=0, 35 и получим уравнение регрессии:

(1.9)

В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x ⁽⁵⁾. Исключив x ⁽⁵⁾ получим уравнение регрессии:

(1.10)

Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.

Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.

Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайности y входит переменная x ⁽⁴⁾, имеющая самый высокий коэффициент корреляции с y, объясняемой переменной - r (y, x ⁽⁴⁾)=0, 58. На втором шаге, включая уравнение наряду с x ⁽⁴⁾ переменные x ⁽¹⁾ или x ⁽³⁾, мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (1.10):

(1.11)

и

(1.12)

Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (1.9).

Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.

По статистическим критериям наиболее адекватна модель (1.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2, 26 и средней относительной ошибки аппроксимации и наибольшие значения и F_набл = 273.

Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (1.12), а затем — модель (1.10).

Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (1.11) и (1.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x ⁽¹⁾ и x ⁽³⁾. Однако в моделях урожайностей переменная x ⁽¹⁾ (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменная x ⁽³⁾ (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x ⁽¹⁾).

В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (1.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x ⁽¹⁾, x ⁽²⁾ или x ⁽³⁾) выбираем окончательное уравнение регрессии:

Уравнение значимо при a=0, 05, т.к. F_набл = 266 > F_kp = 3, 20, найденного по таблице F -распределения при a= Q =0, 05; n₁=3 и n₂=17. Значимы и все коэффициенты регрессии и в уравнении ½ t _j½ > t _kp(a=2 Q =0, 05; n=17)=2, 11. Коэффициент регрессии q₁ следует признать значимым (q₁¹ 0) из экономических соображений, при этом t ₁=2, 09 лишь незначительно меньше t _kp = 2, 11.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x ⁽⁴⁾) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0, 345 ц/га.

Приближенный расчет коэффициентов эластичности э₁»0, 068 и э₂»0, 161 показывает, что при увеличении показателей x ⁽¹⁾ и x ⁽⁴⁾ на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0, 068% и 0, 161%.

Множественный коэффициент детерминации свидетельствует о том, что только 46, 9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x ⁽¹⁾ и x ⁽⁴⁾), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x ⁽²⁾, x ⁽³⁾, x ⁽⁵⁾, погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации характеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии . При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации . Напомним, что — модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменных x ⁽¹⁾ и x ⁽⁴⁾ зафиксированы на одном и том же уровне, а именно x ⁽¹⁾ = x_i ⁽¹⁾ и x ⁽⁴⁾ = x_i ⁽⁴⁾. Тогда по значениям d _i можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения d _i > 0, имеют урожайность выше среднего, а d _i < 0 — ниже среднего.

В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует d ₇ =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно — в районе с d ₂₀ =-27, 3%.